Wzór Greena

Twierdzenie Greena w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Wzór Greena) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Niech D {\displaystyle D} będzie obszarem normalnym, takim że x ∈ a , b {\displaystyle x\in [a,b]} oraz g 1 ( x ) < y < g 2 ( x ) , {\displaystyle g_{1}(x)<y<g_{2}(x),} wtedy brzeg D {\displaystyle D} możemy podzielić na krzywe gładkie C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , {\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},} co dość dobrze obrazuje twierdzenie.

Twierdzenie Greena – twierdzenie matematyczne sformułowane przez angielskiego matematyka i fizyka George’a Greena. Jest to szczególny przypadek twierdzenia Stokesa.

Treść twierdzenia | edytuj kod

Jeżeli funkcje P {\displaystyle P} i Q {\displaystyle Q} są klasy C 1 {\displaystyle C^{1}} wewnątrz obszaru regularnego D , {\displaystyle D,} krzywa regularna K {\displaystyle K} jest brzegiem obszaru D {\displaystyle D} i jest zorientowana dodatnio, to:

∫ K ( P d x + Q d y ) = ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y . {\displaystyle \int \limits _{K}{(Pdx+Qdy)}=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\,dy.}

Powyższy wzór jest nazywany wzorem Greena.

Aby zaznaczyć, że całka krzywoliniowa jest okrężna (krzywa K {\displaystyle K} jest zamknięta), używa się także symbolu całki z okręgiem:

∮ K ( P d x + Q d y ) = ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y . {\displaystyle \oint \limits _{K}{(Pdx+Qdy)}=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\,dy.}

Dowód | edytuj kod

Niech D {\displaystyle D} będzie obszarem ukazanym na rysunku obok. Tak więc D ¯ = { ( x , y ) ∈ R 2 : x ∈ a , b ∧ y ∈ g 1 ( x ) , g 2 ( x ) } . {\displaystyle {\bar {D}}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\colon x\in [a,b]\wedge \,y\in [g_{1}(x),g_{2}(x)]\}.}

Wprowadźmy następujące parametryzacje krzywych C 1 , C 2 , C 3 , C 4 : {\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}{:}}

C 1 = { ( t , g 1 ( t ) ) : t ∈ a , b } , {\displaystyle C_{1}=\{(t,g_{1}(t))\colon t\in [a,b]\},} C 2 = { ( b , t ) : t ∈ g 1 ( b ) , g 2 ( b ) } , {\displaystyle C_{2}=\{(b,t)\colon t\in [g_{1}(b),g_{2}(b)]\},} C 3 = { ( − t , g 2 ( − t ) ) : t ∈ − b , − a } , {\displaystyle C_{3}=\{(-t,g_{2}(-t))\colon t\in [-b,-a]\},} C 4 = { ( a , − t ) : t ∈ − g 1 ( a ) , − g 2 ( a ) } . {\displaystyle C_{4}=\{(a,-t)\colon t\in [-g_{1}(a),-g_{2}(a)]\}.}

Wówczas d x = d t {\displaystyle dx=dt} dla C 1 , {\displaystyle C_{1},} d x = − d t {\displaystyle dx=-dt} dla C 3 {\displaystyle C_{3}} oraz d x = 0 {\displaystyle dx=0} dla C 2 , C 4 . {\displaystyle C_{2},C_{4}.}

Tak więc dla składowej P {\displaystyle P} pola wektorowego otrzymujemy:

∮ K P d x = ∫ C 1 P d x + ∫ C 3 P d x = ∫ a b P ( t , g 1 ( t ) ) d t + ∫ − b − a P ( − t , g 2 ( − t ) ) ( − d t ) = ∫ a b ( P ( t , g 1 ( t ) ) − P ( t , g 2 ( t ) ) ) d t , {\displaystyle \oint \limits _{K}Pdx=\int \limits _{C_{1}}Pdx+\int \limits _{C_{3}}Pdx=\int \limits _{a}^{b}P(t,g_{1}(t))dt+\int \limits _{-b}^{-a}P(-t,g_{2}(-t))(-dt)=\int \limits _{a}^{b}(P(t,g_{1}(t))-P(t,g_{2}(t)))dt,}

zaś w całce podwójnej z prawej strony równości w tezie bierzemy składnik − ∂ P ∂ y : {\displaystyle -{\frac {\partial P}{\partial y}}{:}}

∬ D − ∂ P ∂ y ( x , y ) d x d y = ∫ a b d x ∫ g 1 ( x ) g 2 ( x ) − ∂ P ∂ y ( x , y ) d y . {\displaystyle \iint \limits _{D}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}dx\int \limits _{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)dy.}

Stosując twierdzenie Newtona-Leibniza, otrzymujemy:

∬ D − ∂ P ∂ y ( x , y ) d x d y = ∫ a b ( P ( t , g 1 ( t ) ) − P ( t , g 2 ( t ) ) ) d t . {\displaystyle \iint \limits _{D}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}(P(t,g_{1}(t))-P(t,g_{2}(t)))dt.}

Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla składowej Q . {\displaystyle Q.}

Tak więc lewa i prawa strona równania z tezy są równe.

Na podstawie artykułu: "Wzór Greena" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy