Złożenie funkcji


Złożenie funkcji w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Złożenie (superpozycja) funkcji – podstawowa operacja w matematyce, polegająca na tym, że efekt kolejnego stosowania dwóch (lub więcej) funkcji (ze zbioru w zbiór), a także przekształceń, odwzorowań, transformacji, relacji dwuargumentowych, traktuje się jako wynik stosowania jednej funkcji (lub relacji) złożonej.

Definicja | edytuj kod

Niech f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} oraz g : Y Z {\displaystyle g\colon Y\to Z} będą dowolnymi funkcjami. Ich złożeniem nazywamy funkcję h : X Z {\displaystyle h\colon X\to Z} taką, że:

h ( x ) = g ( f ( x ) ) {\displaystyle h(x)=g\left(f(x)\right)} dla x X . {\displaystyle x\in X.}

Funkcje f {\displaystyle f} oraz g {\displaystyle g} nazywa się funkcjami składanymi, zaś h {\displaystyle h} nosi również nazwę funkcji złożonej.

Składanie dwóch funkcji można traktować jako operator dwuargumentowy, oznaczany . {\displaystyle \circ .} Dla powyższych funkcji

h = g f , {\displaystyle h=g\circ f,}

zatem dla dowolnego x {\displaystyle x} z dziedziny funkcji f {\displaystyle f} mamy równość:

h ( x ) = g ( f ( x ) ) = ( g f ) ( x ) . {\displaystyle h(x)=g\left(f(x)\right)=(g\circ f)(x).}

Własności | edytuj kod

Łączność operatora składania oznacza, że f ( g h ) = ( f g ) h , {\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h,} czyli złożenie funkcji nie zależy od kolejności obliczania kolejnych złożeń. Stąd uprawniony jest zapis f g h . {\displaystyle f\circ g\circ h.}

Istotną cechą złożenia funkcji, czyli immanentną cechą operatora , {\displaystyle \circ ,} jest nieprzemienność. Złożenie g f {\displaystyle g\circ f} oznacza relację: g {\displaystyle g} «po» f , {\displaystyle f,} g {\displaystyle g} «z» lub «dzięki» f , {\displaystyle f,} czy też g {\displaystyle g} «wskutek» lub «utworzony z» f {\displaystyle f} (ang. after, of, following, composed).

Tak więc złożenie g f {\displaystyle g\circ f} nie jest tożsame z f g . {\displaystyle f\circ g.} Jest to (wyjątkowo) możliwe tylko wtedy, gdy zbiór X {\displaystyle X} jest tożsamy z Z . {\displaystyle Z.} Mamy wówczas f g : Y Y , {\displaystyle f\circ g\colon Y\to Y,} a w takim przypadku f g {\displaystyle f\circ g} na ogół różni się od funkcji g f . {\displaystyle g\circ f.}

Przykład | edytuj kod

Niech f : R R , f ( x ) = 2 x + 1 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f(x)=2x+1} i g : R R , g ( x ) = x 2 . {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,g(x)=x^{2}.}

Wtedy

( g f ) : R R , ( g f ) ( x ) = ( 2 x + 1 ) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1 , {\displaystyle (g\circ f)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;(g\circ f)(x)=(2x+1)^{2}=4x^{2}+4x+1,}

natomiast

( f g ) : R R , ( f g ) ( x ) = 2 ( x 2 ) + 1 = 2 x 2 + 1. {\displaystyle (f\circ g)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;(f\circ g)(x)=2(x^{2})+1=2x^{2}+1.}

Widać, iż g f {\displaystyle g\circ f} jest inna niż f g . {\displaystyle f\circ g.}

Struktura grupy | edytuj kod

 Osobny artykuł: grupa permutacji.

Operacja składania funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach: na wielu interesujących matematyków zbiorach funkcji w naturalny sposób określa ona strukturę półgrupy lub grupy.

Przykład | edytuj kod

  • Σ X , {\displaystyle \Sigma _{X},} czyli grupa symetryczna danego zbioru X , {\displaystyle X,} oznaczana również przez S X {\displaystyle S_{X}} albo Sym ( X ) , {\displaystyle \operatorname {Sym} (X),} czyli grupa wszystkich bijekcji f : X X . {\displaystyle f\colon X\to X.}
  • Zbiór wszystkich odwzorowań f : X X {\displaystyle f\colon X\to X} jest półgrupą, a nawet monoidem, w którym rolę elementu neutralnego pełni odwzorowanie tożsamościowe.

Składanie funkcji samej ze sobą | edytuj kod

Jeżeli f : X X , {\displaystyle f\colon X\to X,} to można wykonać złożenie f {\displaystyle f} samą ze sobą – otrzymaną funkcję f f {\displaystyle f\circ f} oznacza się zazwyczaj f 2 . {\displaystyle f^{2}.} Analogicznie, f 3 = f f f {\displaystyle f^{3}=f\circ f\circ f} itd. Takie wielokrotne składanie nazywa się iteracją.

Dodatkowo funkcję f , {\displaystyle f,} dla której ( f f ) ( x ) = x {\displaystyle (f\circ f)(x)=x} nazywamy inwolucją; jej przykładem w geometrii jest inwersja.

Tradycyjnie f 2 {\displaystyle f^{2}} jest czasami rozumiane w inny sposób: mianowicie jako zwykły iloczyn funkcji (nazywany też iloczynem punktowym), czyli f 2 ( x ) = f ( x ) f ( x ) {\displaystyle f^{2}(x)=f(x)\cdot f(x)} dla każdego x X . {\displaystyle x\in X.} W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych, np. we wzorze: sin 2 x + cos 2 x = 1 {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1} zapis sin 2 x {\displaystyle \sin ^{2}x} oznacza właśnie sin x sin x = ( sin x ) 2 . {\displaystyle \sin x\cdot \sin x=(\sin x)^{2}.}

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Złożenie funkcji" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy