Zasada zachowania momentu pędu


Zasada zachowania momentu pędu w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zasada zachowania momentu pędu – jedna z zasad zachowania w fizyce. Treść zasady:

Dla dowolnego izolowanego układu punktów materialnych całkowita suma ich momentów pędu jest stała.

W przypadku bryły sztywnej zasadę tę można sformułować następująco:

Moment pędu bryły pozostaje stały, gdy nie działa na nią żaden moment siły zewnętrznej.

co można zapisać wzorem

L = const {\displaystyle {\vec {L}}=\operatorname {const} }

lub

d L d t = 0 , {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} {\vec {L}}}{\operatorname {d} t}}=0,}

przy czym wzór ten można traktować jako szczególny przypadek równania wyrażającego zależność momentu pędu od momentu siły M {\displaystyle M}

d L d t = M . {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} {\vec {L}}}{\operatorname {d} t}}={\vec {M}}.}

Konsekwencje | edytuj kod

Z zasady zachowania momentu pędu i definicji momentu pędu

L = I ω {\displaystyle {\vec {L}}=I{\vec {\omega }}}

(przykład definicji momentu pędu dla ustalonej osi) wynika, że prędkość kątowa ω {\displaystyle \omega } rośnie, gdy maleje moment bezwładności I . {\displaystyle I.}

Jedną z konsekwencji zasady zachowania momentu pędu są znaczne prędkości kątowe gwiazd neutronowych, dochodzące do kilkuset obrotów na minutę (pulsary milisekundowe) uzyskiwane na skutek kolapsu grawitacyjnego i zmniejszenia momentu bezwładności.

Dowód poprawności | edytuj kod

Zasada zachowania momentu pędu wynika z niezmienności hamiltonianu względem obrotów w przestrzeni.

Moment pędu układu N {\displaystyle N} cząstek można zapisać

L = i = 1 N r i × ( m i r i ˙ ) . {\displaystyle {\vec {L}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times (m_{i}{\dot {\vec {r_{i}}}}).}

Różniczkując po czasie powyższe wyrażenie, otrzymujemy

d L d t = i = 1 N r i ˙ × ( m i r i ˙ ) + i = 1 N r i × ( m i r i ¨ ) . {\displaystyle {\frac {d{\vec {L}}}{dt}}=\sum _{i=1}^{N}{\dot {\vec {r_{i}}}}\times (m_{i}{\dot {\vec {r_{i}}}})+\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times (m_{i}{\ddot {\vec {r_{i}}}}).}

Ponieważ iloczyn wektorowy r i ˙ × r i ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {\vec {r_{i}}}}\times {\dot {\vec {r_{i}}}}=0} oraz m i r i ¨ = F i , {\displaystyle m_{i}{\ddot {\vec {r_{i}}}}={\vec {F_{i}}},} to pozostaje tylko obliczyć iloczyn r i × F i . {\displaystyle {\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}.}

W tym celu rozbijemy siłę działającą na każdą cząstkę na składową pochodzącą z oddziaływań z innymi cząstkami (człony F i j {\displaystyle {\vec {F}}_{ij}} ) oraz składową pochodzącą z zewnątrz układu

i = 1 N r i × F i = i = 1 N ( r i × ( i j N F i j + F i ) ) = i = 1 N r i × F i . {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}=\sum _{i=1}^{N}({\vec {r_{i}}}\times (\sum _{i\neq j}^{N}{\vec {F_{ij}}}+{\vec {F_{i}}}'))=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i}'.}

Ponieważ

F i j = F j i , {\displaystyle {\vec {F_{ij}}}=-{\vec {F_{ji}}},}

to

r i × F i j = r j × F j i , {\displaystyle {\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{ij}}}=-{\vec {r_{j}}}\times {\vec {F_{ji}}},}

a dla każdej siły

F i j {\displaystyle {\vec {F_{ij}}}}

występuje siła

F j i . {\displaystyle {\vec {F_{ji}}}.}

Stąd suma wszystkich momentów sił oddziaływania jest równa 0.

Zatem

d L d t = i = 1 N r i × F i . {\displaystyle {\frac {d{\vec {L}}}{dt}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r_{i}}}\times {\vec {F_{i}}}'.}

Jeżeli układ jest odosobniony, to

F i = 0 , {\displaystyle {\vec {F}}_{i}'=0,}

czyli

L = const . {\displaystyle {\vec {L}}={\text{const}}.}

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Zasada zachowania momentu pędu" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy