Zastosowanie liczb zespolonych w analizie obwodów elektrycznych


Zastosowanie liczb zespolonych w analizie obwodów elektrycznych w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zastosowanie liczb zespolonych – umożliwia uproszczoną analizę obwodów elektrycznych prądu przemiennego. Możliwe jest to dzięki algebralizacji równań różniczkowo-całkowych poprzez odwzorowanie przebiegów prądu i napięcia w postaci funkcji symbolicznej. Stwarza to możliwość analizy obwodu prądu przemiennego z wykorzystaniem metod używanych podczas analizy obwodów prądu stałego, a więc metody potencjałów węzłowych, metody prądów oczkowych, twierdzenia Thevenina-Nortona itd.

Liczby zespolone mogą być wykorzystywane tylko do analizy obwodów liniowych, w których wszystkie źródła energii dostarczają sinusoidalnych prądów i napięć o tej samej częstotliwości. Innymi słowy, liczby zespolone nie mogą być wykorzystane do analizy przebiegów odkształconych.

Spis treści

Wersor rotacyjny | edytuj kod

Funkcja symboliczna budowana jest przy użyciu wersora rotacyjnego e j ω t {\displaystyle e^{j\omega t}} oraz sprzężonego z nim wersora e j ω t . {\displaystyle e^{-j\omega t}.} Moduł tego wersora równy jest jeden, zaś argument zależny jest od czasu. Obrazem wersora na płaszczyźnie liczb zespolonych jest wektor jednostkowy obracający się z prędkością kątową ω w kierunku matematycznie dodatnim, zaś w przypadku wersora sprzężonego – w kierunku matematycznie ujemnym.

Uwaga: W inżynierii elektrycznej jednostka urojona często oznaczana jest literą j zamiast rozpowszechnionej i, by uniknąć pomyłki z wartością chwilową natężenia prądu zmiennego, również oznaczaną przez małą literę i.

Funkcja symboliczna | edytuj kod

Funkcja symboliczna wyrażana jest jako iloczyn liczby zespolonej A m = | A m | e j α {\displaystyle A_{m}=|A_{m}|e^{j\alpha }} oraz opisanego powyżej wersora rotacyjnego. Można to zapisać jako:

A ( t ) = | A m | e j ( ω t + α ) . {\displaystyle A(t)=|A_{m}|e^{j(\omega t+\alpha )}.}

Obrazem funkcji symbolicznej na płaszczyźnie liczb zespolonych jest wektor o długości | A m | {\displaystyle |A_{m}|} i kącie początkowym α, obracający się z prędkością kątową ω w kierunku matematycznie dodatnim.

Uproszczenie analizy obwodów elektrycznych prądu przemiennego, możliwe jest właśnie ze względu na wyjątkowe właściwości funkcji symbolicznej. Pochodna funkcji symbolicznej wyprzedza ją o kąt 90° a jej całka opóźnia się o kąt 90°. Operacje te więc można uprościć zastępując – niezbędne przy analizie obwodów prądu przemiennego – całkowanie na dzielenie poprzez czynnik j ω {\displaystyle j\omega } a różniczkowanie na mnożenie przez czynnik j ω . {\displaystyle j\omega .}

Odwzorowanie przebiegów prądu i napięcia w postaci funkcji symbolicznej | edytuj kod

W łatwy sposób można uzasadnić słuszność odwzorowywania przebiegów prądu i napięcia pod postacią funkcji symbolicznej. Dla przykładowego przebiegu sinusoidalnego prądu na odbiorniku danego wzorem: i = | I m | sin ( ω t + α ) {\displaystyle i=|I_{m}|\sin(\omega t+\alpha )} zbudować można funkcję symboliczną I ( t ) = | I m | e j ( ω t + α ) . {\displaystyle I(t)=|I_{m}|e^{j(\omega t+\alpha )}.} Jeżeli funkcję symboliczną I ( t ) {\displaystyle I(t)} oraz funkcję do niej sprzężoną przedstawi się w postaci trygonometrycznej:

I ( t ) = | I m | e j ( ω t + α ) = | I m | cos ( ω t + α ) + j sin ( ω t + α ) {\displaystyle I(t)=|I_{m}|e^{j(\omega t+\alpha )}=|I_{m}|[\cos(\omega t+\alpha )+j\sin(\omega t+\alpha )]}

oraz

I ( t ) = | I m | e j ( ω t + α ) = | I m | cos ( ω t + α ) j sin ( ω t + α ) , {\displaystyle I^{*}(t)=|I_{m}|e^{-j(\omega t+\alpha )}=|I_{m}|[\cos(\omega t+\alpha )-j\sin(\omega t+\alpha )],}

to po dodatkowych przekształceniach zauważyć można związek:

I ( t ) I ( t ) 2 j = | I m | sin ( ω t + α ) = i . {\displaystyle {\frac {I(t)-I^{*}(t)}{2j}}=|I_{m}|\sin(\omega t+\alpha )=i.}

Ponieważ z własności liczb zespolonych wynika, że

Z Z 2 j = a + j b ( a j b ) 2 j = 2 j b 2 j = b = Im { Z } , {\displaystyle {\frac {Z-Z^{*}}{2j}}={\frac {a+jb-(a-jb)}{2j}}={\frac {2jb}{2j}}=b=\operatorname {Im} \{Z\},}

stąd:

i = Im { I ( t ) } . {\displaystyle i=\operatorname {Im} \{I(t)\}.}

I dla napięcia analogicznie:

u = Im { U ( t ) } . {\displaystyle u=\operatorname {Im} \{U(t)\}.}

Dodatkowym atutem takiego przyporządkowania jest fakt, że nie tylko możliwe jest odwzorowanie przebiegu prądu lub napięcia poprzez funkcję symboliczną, ale także odtworzenie przebiegu sinusoidalnego z funkcji symbolicznej.

Zespolone wartości skuteczne | edytuj kod

W powyższych wzorach przykładowy przebieg i = | I m | sin ( ω t + α ) {\displaystyle i=|I_{m}|\sin(\omega t+\alpha )} zawierał czynnik I m , {\displaystyle I_{m},} który odpowiadał zespolonej wartości maksymalnej. Aby przejść z odwzorowania przebiegów sinusoidalnych promieniami wirującymi na odwzorowanie funkcji symbolicznych nieruchomymi wektorami (zatrzymanymi w chwili t = 0 {\displaystyle t=0} ) wprowadza się zespolone wartości skuteczne oznaczane poprzez U {\displaystyle U} oraz I , {\displaystyle I,} gdzie:

I = I m 2 , {\displaystyle I={\frac {I_{m}}{\sqrt {2}}},} U = U m 2 . {\displaystyle U={\frac {U_{m}}{\sqrt {2}}}.}

To właśnie wartości skuteczne zespolone używane są w ostatecznych obliczeniach z wykorzystaniem metod używanych podczas analizy obwodów prądu stałego – nawet ich oznaczenia sugerują brak powiązania obliczeń z dziedziną czasu.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Zastosowanie liczb zespolonych w analizie obwodów elektrycznych" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy