Zbiór Cantora


Zbiór Cantora w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zbiór Cantorapodzbiór prostej rzeczywistej opisany w 1883[1] przez niemieckiego matematyka Georga Cantora. Zbiór ten odkrył w 1875 Henry John Stephen Smith[2].

Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

Topologicznym zbiorem Cantora nazywa się każdą przestrzeń topologiczną homeomorficzną z trójkowym zbiorem Cantora (kostką Cantora wagi 0 {\displaystyle \aleph _{0}} ).

Spis treści

Definicje | edytuj kod

Podstawowa konstrukcja | edytuj kod

Klasyczny zbiór Cantora (zwany także trójkowym zbiorem Cantora) to podzbiór przedziału domkniętego C 0 := 0 , 1 {\displaystyle C_{0}:=[0,1]} liczb rzeczywistych wyznaczony przez następującą konstrukcję. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych C 0 , C 1 , C 2 , , {\displaystyle \langle C_{0},C_{1},C_{2},\dots \rangle ,} takich że

( ) n {\displaystyle (\otimes )_{n}}   zbiór C n {\displaystyle C_{n}} jest sumą 2 n {\displaystyle 2^{n}} rozłącznych odcinków domkniętych.

W kroku bazowym deklarujemy, że

zbiór C 0 {\displaystyle C_{0}} to odcinek 0 , 1 {\displaystyle [0,1]}

(oczywiście, zbiór ten spełnia warunek ( ) 0 {\displaystyle (\otimes )_{0}} ). Krok indukcyjny konstrukcji jest opisany w sposób następujący.

Przypuśćmy, że wyznaczyliśmy już zbiór C n {\displaystyle C_{n}} tak, że jest sumą 2 n {\displaystyle 2^{n}} rozłącznych odcinków domkniętych (tzn. spełnia ( ) n {\displaystyle (\otimes )_{n}} ). Każdy z 2 n {\displaystyle 2^{n}} odcinków tworzących ten zbiór dzielimy na 3 rozłączne odcinki równej długości z których środkowy odcinek jest otwarty, a odcinki skrajne są domknięte. Wyrzucamy ze zbioru C n {\displaystyle C_{n}} wszystkie środkowe odcinki otwarte kładąc C n + 1 = C n ( I 1 I 2 n ) {\displaystyle C_{n+1}=C_{n}\setminus (I_{1}\cup \ldots \cup I_{2^{n}})} (gdzie I 1 , , I 2 n {\displaystyle I_{1},\dots ,I_{2^{n}}} to „środkowe” odcinki z podziałów wykonanych przed chwilą). Można sprawdzić, że zbiór C n + 1 {\displaystyle C_{n+1}} jest sumą 2 n + 1 {\displaystyle 2^{n+1}} rozłącznych odcinków domkniętych (czyli warunek ( ) n + 1 {\displaystyle (\otimes )_{n+1}} jest spełniony). Zbiory C0, C1, C2, C3, C4, C5 i C6

Po zakończeniu procesu indukcyjnego, gdy ciąg C 0 , C 1 , C 2 , {\displaystyle \langle C_{0},C_{1},C_{2},\dots \rangle } jest wyznaczony, definiujemy trójkowy zbiór Cantora jako część wspólną tego ciągu:

C := n = 0 C n . {\displaystyle C:=\bigcap _{n=0}^{\infty }C_{n}.}

Alternatywna definicja | edytuj kod

Trójkowy zbiór Cantora definiuje się także jako zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mających postać:

i = 1 a i 3 i , {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{3^{i}}},}

gdzie a i { 0 , 2 } . {\displaystyle a_{i}\in \{0,2\}.} Tak więc jest to zbiór tych liczb rzeczywistych z przedziału 0 , 1 , {\displaystyle [0,1],} dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera).

Modyfikacje konstrukcji | edytuj kod

Odpowiednik zbioru Cantora w 3 wymiarach (kostka Cantora dla 1 {\displaystyle \aleph _{1}} - 5 stopni rekurencji) o wymiarze fraktalnym ln 8 ln 3 = 1,892 789260 {\displaystyle {\frac {\ln 8}{\ln 3}}=1{,}892789260\dots }

W klasycznej konstrukcji zbioru Cantora (opisanej powyżej) wybiera się zbiory C n , {\displaystyle C_{n},} tak że każdy z nich jest sumą 2 n {\displaystyle 2^{n}} rozłącznych odcinków domkniętych długości ( 1 3 ) n . {\displaystyle \left({\tfrac {1}{3}}\right)^{n}.} Możemy zmodyfikować tę konstrukcję tak, że wybierając zbiory C n + 1 {\displaystyle C_{n+1}} wyrzucamy środkowe części odcinków składających się na C n , {\displaystyle C_{n},} ale długość wyrzuconych odcinków może być różna od 1/3 długości odcinków dzielonych.

Jedna z konstrukcji tego typu prowadzi do zbioru Smitha-Volterra-Cantora. Indukcyjnie wybieramy zstępujący ciąg zbiorów domkniętych D 0 , D 1 , D 2 , {\displaystyle \langle D_{0},D_{1},D_{2},\dots \rangle } tak, że każdy zbiór D n {\displaystyle D_{n}} jest sumą 2 n {\displaystyle 2^{n}} rozłącznych odcinków domkniętych. Proces indukcyjny zaczyna się od określenia

D 0 = 0 , 1 . {\displaystyle D_{0}=[0,1].}

Następnie, przypuśćmy że zbiór D n {\displaystyle D_{n}} jest już wyznaczony i jest on sumą 2 n {\displaystyle 2^{n}} rozłącznych odcinków domkniętych, D n = I 1 I 2 n . {\displaystyle D_{n}=I_{1}\cup \ldots \cup I_{2^{n}}.} W centrum każdego z odcinków I k {\displaystyle I_{k}} wybieramy otwarty pododcinek J k {\displaystyle J_{k}} długości | J k | = 2 2 ( n + 1 ) . {\displaystyle |J_{k}|=2^{-2(n+1)}.} Kładziemy D n + 1 = D n ( J 1 J 2 n ) . {\displaystyle D_{n+1}=D_{n}\setminus (J_{1}\cup \ldots \cup J_{2^{n}}).}

Zbiory D0, D1, D2, D3, D4, D5

Zbiór Smitha-Volterra-Cantora jest zdefiniowany jako

D := n = 0 D n . {\displaystyle D:=\bigcap _{n=0}^{\infty }D_{n}.}

Podstawowe właściwości | edytuj kod

Trójkowy zbiór Cantora C : {\displaystyle C{:}}

Wymiar fraktalny klasycznego zbioru Cantora wynosi

ln 2 ln 3 = 0,630 929754 {\displaystyle {\frac {\ln 2}{\ln 3}}=0{,}630929754\dots }

Nie wszystkie zbiory Cantora mają miarę Lebesgue’a zero – poprzez odpowiednie zmiany w konstrukcji (wyrzucanie odpowiednio mniejszych odcinków) możemy skonstruować zbiór Cantora, którego miara jest dowolną liczbą z przedziału 0 , 1 ) . {\displaystyle [0,1).} Na przykład opisany wcześniej zbiór Smitha-Volterra-Cantora D {\displaystyle D} ma miarę 1/2 (i jest nigdziegęsty).

Konsekwencją istnienia nieprzeliczalnych zbiorów miary zero oraz tego, że miara Lebesgue’a jest zupełna jest fakt, iż σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a jest mocy 2 c . {\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}.}

Zbiór Cantora w szerszym sensie | edytuj kod

Topologicznie zbiór Cantora to każda przestrzeń zwarta, metryzowalna, której składowe spójności składają się z jednego punktu i której każdy punkt jest punktem skupienia. Ważne jest twierdzenie, które mówi, że przestrzeń jest zwarta i metryzowalna wtedy i tylko wtedy, kiedy jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.

Topologiczna charakteryzacja zbioru Cantora | edytuj kod

Brouwer udowodnił, że zbiór Cantora jest jedyną z dokładnością do homeomorfizmu przestrzenią topologiczną, która jest doskonała, niepusta, zwarta, metryzowalna i zerowymiarowa.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Cantor, Georg: De la puissance des ensembles parfait de points, „Acta Mathematica” 4 (1884), s. 381–392.
  2. Za: Stewart, Ian: Does God Play Dice?: The Mathematics of Chaos, Blackwell Publishers, Cambridge MA, 1995. ​ISBN 1-55786-106-4​, s. 121.
Na podstawie artykułu: "Zbiór Cantora" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy