Zbiór gęsty


Zbiór gęsty w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Zbiór gęstyzbiór, którego domknięcie jest całą przestrzenią. Równoważnie, zbiór jest gęsty, jeżeli ma z każdym niepustym zbiorem otwartym co najmniej jeden punkt wspólny. W przestrzeni metrycznej ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} zbiór D X {\displaystyle D\subset X} nazywamy gęstym jeśli dla każdego x X {\displaystyle x\in X} i liczby ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} istnieje element q D {\displaystyle q\in D} taki, że d ( x , q ) < ε , {\displaystyle d(x,q)<\varepsilon ,} tzn. dowolnie blisko każdego elementu x X {\displaystyle x\in X} znajduje się jakiś element z D . {\displaystyle D.}

Przestrzeń topologiczną, która zawiera przeliczalny zbiór gęsty nazywa się przestrzenią ośrodkową. W przestrzeni topologicznej X {\displaystyle X} jej podzbiór A X {\displaystyle A\subset X} nazywamy zbiorem nigdziegęstym jeśli nie jest gęsty w żadnym niepustym zbiorze otwartym.

Przykłady | edytuj kod

  • Zbiór funkcji nieróżniczkowalnych w żadnym punkcie (takich jak Funkcja Weierstrassa) jest gęstym podzbiorem zbioru funkcji ciągłych określonych na zbiorze zwartym z metryką supremum.
  • Zbiór wielomianów trygonometrycznych jest gęsty w zbiorze funkcji ciągłych i okresowych o okresie 2 π {\displaystyle 2\pi } z metryką supremum, co może posłużyć do konstrukcji podzbioru gęstego w zbiorze funkcji ciągłych okresowych o dowolnym danym okresie.
  • Dopełnienia zbiorów pierwszej kategorii w przestrzeniach Baire’a są zbiorami gęstymi.
  • Zbiory pełnej miary Lebesgue’a na prostej są zbiorami gęstymi.
  • Przecięcie dwóch zbiorów gęstych może być zbiorem pustym, np. zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są gęste na prostej, ale ich część wspólna jest zbiorem pustym. Istnieją przestrzenie topologiczne, które nie zawierają więcej niż dwóch rozłącznych podzbiorów gęstych, tzw. irresolvable spaces.

Teoria mnogości | edytuj kod

Zbiór gęsty (w sobie) – w teorii mnogości podzbiór D {\displaystyle D} częściowego porządku ( P , < ) {\displaystyle (P,<)} taki, że

p P d D d < p . {\displaystyle \forall _{p\in P}\;\exists _{d\in D}\;d<p.}
Na podstawie artykułu: "Zbiór gęsty" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy