Zbiór miary zero


Zbiór miary zero w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zbiór miary zero – zbiór mierzalny rozważanej przestrzeni mierzalnej ( X , M ) {\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})} „nieistotny” z punktu widzenia zadanej na niej miary μ , {\displaystyle \mu ,} tzn. dowolny zbiór A M {\displaystyle A\in {\mathfrak {M}}} spełniający μ ( A ) = 0. {\displaystyle \mu (A)=0.} Podzbiory zbiorów miary zero nazywa się zaniedbywalnymi (w szczególności każdy zbiór miary zero jest zaniedbywalny); jeśli miara jest zupełna (tj. zbiory zaniedbywalne są mierzalne), to z jej monotoniczności wynika też, że każdy zbiór zaniedbywalny jest miary zero, co oznacza, że wtedy pojęcia te są równoważne.

O własności przysługującej elementom pewnego zbioru miary zero mówi się, iż zachodzi prawie nigdzie, z kolei gdy dana własność zachodzi dla wszystkich elementów przestrzeni poza zbiorem zerowej miary, to zachodzi ona prawie wszędzie. W teorii prawdopodobieństwa zamiast wyrażeń „prawie nigdzie”, „prawie wszędzie” używa się wyrażeń „prawie nigdy”, „prawie na pewno/zawsze” (np. o możliwości zajścia zdarzenia losowego); ponieważ miara całej przestrzeni probabilistycznej jest równa jedności, to „prawie na pewno” oznacza „z prawdopodobieństwem 1”.

W przestrzeniach euklidesowych zbiory mierzy się zwykle za pomocą miary Lebesgue’a: w tym przypadku zbiory miary zero można scharakteryzować nie odwołując się do pojęć teorii miary; w lokalnie zwartych grupach topologicznych (którymi są m.in. przestrzenie euklidesowe) standardową miarą jest z kolei pewna (lewostronnie niezmiennicza) miara Haara (której przykładem jest miara Lebesgue’a).

Spis treści

Miara Lebesgue’a | edytuj kod

 Zobacz też: miara Lebesgue’a.

Podzbiory miary Lebesgue’a zero przestrzeni euklidesowych można scharakteryzować nie odwołując się bezpośrednio do pojęcia miary: podzbiór A {\displaystyle A} prostej R {\displaystyle \mathbb {R} } nazywa się zaniedbywalnym lub miary Lebesgue’a zero (na mocy zupełności tej miary; często krótko: „miary zero”), jeżeli można wybrać ciąg przedziałów otwartych dowolnie małej długości pokrywających ten zbiór, tzn. dla dowolnego ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} istnieje taki ciąg przedziałów ( I n ) , {\displaystyle (I_{n}),} który spełnia

A n = 1 I n {\displaystyle A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }I_{n}}

oraz

n = 1 | I n | < ε , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|I_{n}|<\varepsilon ,}

gdzie I k = ( a k , b k ) {\displaystyle I_{k}=(a_{k},b_{k})} oznacza przedział otwarty dla a k < b k {\displaystyle a_{k}<b_{k}} o długości | I k | = b k a k . {\displaystyle |I_{k}|=b_{k}-a_{k}.} Definicja ta uogólnia się wprost na przestrzenie R d , {\displaystyle \mathbb {R} ^{d},} wtedy przedziały jednowymiarowe należy zastąpić przedziałami wielowymiarowymi, tj. zbiorami postaci I = I 1 × × I d , {\displaystyle I=I_{1}\times \dots \times I_{d},} w których czynniki kartezjańskie są przedziałami otwartymi, a ich objętość dana jest wzorem | I | = | I 1 | | I d | . {\displaystyle |I|=|I_{1}|\dots |I_{d}|.} Wynika stąd w szczególności, że podzbiory, które można zanurzyć w R d 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{d-1}} są miary zero ( d {\displaystyle d} -wymiarowej Lebesgue’a).

Przykłady | edytuj kod

Niech dana będzie funkcja mierzalna f : R R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } (w sensie Lebesgue’a). Mówi się, że jest ona ciągła prawie wszędzie (ciągła p.w.) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest miary zero (Lebesgue’a). Jeżeli g : R R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } jest mierzalna (w sensie Lebesgue’a), to funkcje f {\displaystyle f} oraz g {\displaystyle g} równe prawie wszędzie, tj. f = g p . w . , {\displaystyle f=g\;\mathrm {p.w.} ,} wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

{ x R : f ( x ) g ( x ) } {\displaystyle {\big \{}x\in \mathbb {R} \colon f(x)\neq g(x){\big \}}}

jest miary (Lebesgue’a) zero; podobnie jeśli dany jest ciąg ( f n ) {\displaystyle (f_{n})} funkcji mierzalnych f n : R R , {\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,} to nazywa się go zbieżnym prawie wszędzie do f , {\displaystyle f,} tzn. f n f p . w . , {\displaystyle f_{n}\to f\;\mathrm {p.w.} ,} wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

{ x R : lim n   f n ( x ) f ( x ) } {\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \colon \lim _{n\to \infty }~f_{n}(x)\neq f(x)\right\}}

ma miarę (Lebesgue’a) zero; dla funkcji g : R R ¯ {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to {\overline {\mathbb {R} }}} o wartościach w rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych, jeśli zbiór

{ x A : g ( x ) R } {\displaystyle {\big \{}x\in A\colon g(x)\notin \mathbb {R} {\big \}}}

jest zaniedbywalny, to o funkcji g {\displaystyle g} mówi się, że jest prawie wszędzie skończona. Można również spotkać się z następującym skróconym zapisem (szczególnie w rachunku prawdopodobieństwa, gdzie miara jest prawdopodobieństwem): λ ( f = g ) = 0 {\displaystyle \lambda (f=g)=0} oraz λ ( f n f ) = 0 , {\displaystyle \lambda (f_{n}\to f)=0,} λ ( g R ) = 0 {\displaystyle \lambda (g\in \mathbb {R} )=0} oznaczającym odpowiednio równość f {\displaystyle f} oraz g , {\displaystyle g,} zbieżność f n {\displaystyle f_{n}} do f {\displaystyle f} oraz skończoność g {\displaystyle g} na zbiorach miary (Lebesgue’a) zero; w każdym z powyższych przypadków miarę Lebesgue’a λ {\displaystyle \lambda } można zastąpić dowolną miarą μ {\displaystyle \mu } określoną na ustalonym σ-ciele abstrakcyjnej przestrzeni mierzalnej.

Niech N {\displaystyle {\mathfrak {N}}} będzie rodziną wszystkich podzbiorów liczb rzeczywistych, które są miary Lebesgue’a zero: tworzy ona σ-ideał wśród podzbiorów liczb rzeczywistych. Należą do niego m.in. wszystkie zbiory jednopunktowe, a stąd również wszystkie zbiory przeliczalne, czy klasyczny zbiór Cantora (poprzez drobne zmiany konstrukcji można uzyskać zbiór Cantora o dowolnej mierze skończonej), ponadto każdy ze zbiorów należących do N {\displaystyle {\mathfrak {N}}} zawiera się w zbiorze typu Gδ należącym do N . {\displaystyle {\mathfrak {N}}.} Dowolna rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} które nie są miary zero (w sensie Lebesgue’a), jest co najwyżej przeliczalna.

Zbiór liczb rzeczywistych R {\displaystyle \mathbb {R} } można przedstawić w postaci sumy dwóch rozłącznych zbiorów M {\displaystyle M} oraz N , {\displaystyle N,} z których pierwszy jest zbiorem mizernym (zbiorem pierwszej kategorii), a drugi jest miary Lebesgue’a zero. Otóż jeżeli Q = { q 1 , q 2 , q 3 , } {\displaystyle \mathbb {Q} =\{q_{1},q_{2},q_{3},\dots \}} oznacza zbiór liczb wymiernych, zaś I n , m = ( q n 2 n m 1 , q n + 2 n m 1 ) {\displaystyle I_{n,m}=\left(q_{n}-2^{-n-m-1},q_{n}+2^{-n-m-1}\right)} jest przedziałem otwartym o środku w q n {\displaystyle q_{n}} i długości 2 ( n + m ) , {\displaystyle 2^{-(n+m)},} to jako zbiór miary zero można przyjąć

N = m = 1 n = 1   I n , m ; {\displaystyle N=\bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{\infty }~I_{n,m};}

jego dopełnienie M = N c {\displaystyle M=N^{\mathrm {c} }} jest zbiorem mizernym. Innym przykładem powyższego rozkładu jest zbiór N {\displaystyle N} wszystkich liczb Liouville’a, który ma miarę zero oraz jego dopełnienie będące zbiorem pierwszej kategorii.

Niech R d = R m × R n ; {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}=\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n};} konsekwencją zasady Cavalieriego jest fakt mówiący, że jeżeli E {\displaystyle E} jest podzbiorem miary zero w R d , {\displaystyle \mathbb {R} ^{d},} to

λ m ( E y ) = 0 {\displaystyle \lambda _{m}\left(E^{y}\right)=0}

dla prawie wszystkich x R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} i podobnie

λ n ( E x ) = 0 {\displaystyle \lambda _{n}\left(E_{x}\right)=0}

dla prawie wszystkich y R m , {\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{m},} gdzie λ k {\displaystyle \lambda _{k}} oznacza k {\displaystyle k} -wymiarową miarę Lebesgue’a, a E x = { x R n : ( x , y ) E } {\displaystyle E_{x}={\big \{}x\in \mathbb {R} ^{n}\colon (x,y)\in E{\big \}}} oraz E y = { y R m : ( x , y ) E } . {\displaystyle E^{y}={\big \{}y\in \mathbb {R} ^{m}\colon (x,y)\in E{\big \}}.} Uogólnieniem tej obserwacji jest następujący wniosek płynący z twierdzenia Fubiniego: jeżeli ( X , M , μ ) {\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )} oraz ( Y , N , ν ) {\displaystyle (Y,{\mathfrak {N}},\nu )} są dwiema przestrzeniami mierzalnymi z miarami σ-skończonymi, przy czym λ = μ ν {\displaystyle \lambda =\mu \otimes \nu } jest miarą produktową określoną na przestrzeni produktowej ( X × Y , M N ) , {\displaystyle (X\times Y,{\mathfrak {M}}\otimes {\mathfrak {N}}),} to dla dowolnego zbioru mierzalnego E {\displaystyle E} na tej przestrzeni następujące warunki są równoważne:

  • zbiór E {\displaystyle E} jest miary λ {\displaystyle \lambda } zero;
  • zbiór { x X : ν ( E y ) 0 } {\displaystyle {\big \{}x\in X\colon \nu (E^{y})\neq 0{\big \}}} jest miary μ {\displaystyle \mu } zero;
  • zbiór { y Y : μ ( E x ) 0 } {\displaystyle {\big \{}y\in Y\colon \mu (E_{x})\neq 0{\big \}}} jest miary ν {\displaystyle \nu } zero;

gdzie E x = { x X : ( x , y ) E } {\displaystyle E_{x}={\big \{}x\in X\colon (x,y)\in E{\big \}}} oraz E y = { y Y : ( x , y ) E } . {\displaystyle E^{y}={\big \{}y\in Y\colon (x,y)\in E{\big \}}.}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 144–145.
  • John C. Oxtoby: Measure and Category: A Survey of the Analogies Between Topological and Measure Spaces. New York – Heidelberg – Berlin: Springer-Verlag, 1980, s. 2–5.
  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004. ISBN 83-89716-02-X.
Na podstawie artykułu: "Zbiór miary zero" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy