Zbiór ograniczony


Zbiór ograniczony w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zbiór ograniczony – termin używany na określenie zbiorów w pewnym sensie małych. Dokładna definicja tego pojęcia zależy od kontekstu w którym jest ono wprowadzane.

Np. na prostej rzeczywistej ograniczone są przedziały liczbowe, które zadane są przez liczby skończone, np. 10 , 3 ) , {\displaystyle \langle -10,3),} ( 10 , 3 {\displaystyle (-10,3\rangle } lub 10 , 3 . {\displaystyle \langle -10,3\rangle .} Nieograniczone zaś są np. ( , 3 , {\displaystyle (-\infty ,3\rangle ,} 10 , + ) {\displaystyle \langle -10,+\infty )} i cała prosta.

Spis treści

Porządki częściowe | edytuj kod

Niech ( X , ) {\displaystyle (X,\sqsubseteq )} będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że A X {\displaystyle A\subseteq X} i s X . {\displaystyle s\in X.} Powiemy, że

  • element s {\displaystyle s} jest ograniczeniem górnym zbioru A {\displaystyle A} jeśli ( a A ) ( a s ) , {\displaystyle (\forall a\in A)(a\sqsubseteq s),}
  • element s {\displaystyle s} jest ograniczeniem dolnym zbioru A {\displaystyle A} jeśli ( a A ) ( s a ) {\displaystyle (\forall a\in A)(s\sqsubseteq a)} [1].

Każdy element zbioru X {\displaystyle X} jest zarówno ograniczeniem dolnym, jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego.

Jeśli istnieje ograniczenie górne dla zbioru A , {\displaystyle A,} to mówimy iż zbiór ten jest ograniczony z góry, a jeśli istnieje ograniczenie dolne, to powiemy że zbiór jest ograniczony z dołu.

Zbiory ograniczone to zbiory które mają obydwa ograniczenia, dolne i górne. Tak więc podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest on zawarty w pewnym przedziale.

W szczególności, podzbiór A {\displaystyle A} zbioru liczb rzeczywistych nazwiemy ograniczonym z góry (z dołu), jeżeli istnieje liczba większa (mniejsza) od wszystkich liczb tego zbioru, a jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest zawarty w pewnym skończonym przedziale.

Przestrzenie metryczne | edytuj kod

Ograniczony podzbiór płaszczyzny (u góry) oraz jej nieograniczony podzbiór (na dole)

Niech ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} będzie przestrzenią metryczną. Podzbiór A {\displaystyle A} przestrzeni X {\displaystyle X} nazywany jest zbiorem ograniczonym (w X {\displaystyle X} ), jeżeli jest on zawarty w pewnej kuli. Równoważnie, jeżeli

sup { d ( x , y ) : x , y A } < . {\displaystyle \sup\{d(x,y)\colon x,y\in A\}<\infty .}

Przestrzenie liniowo-topologiczne | edytuj kod

Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią liniowo-topologiczną. Powiemy, że zbiór A X {\displaystyle A\subseteq X} jest ograniczony w X , {\displaystyle X,} gdy dla każdego otoczenia zera U X {\displaystyle U\subseteq X} istnieje α ( 0 , ) , {\displaystyle \alpha \in (0,\infty ),} że A α U = { α u : u U } . {\displaystyle A\subseteq \alpha U=\{\alpha u\colon u\in U\}.}

Można wykazać, że jeśli X {\displaystyle X} jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to definicja ta jest równoważna definicji zbioru ograniczonego w sensie przestrzeni metrycznych.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 121, seria: Biblioteka Matematyczna.
Na podstawie artykułu: "Zbiór ograniczony" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy