Zbiór potęgowy


Zbiór potęgowy w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zbiór potęgowy – dla danego zbioru X {\displaystyle X} zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolami S ( X ) {\displaystyle {\mathcal {S}}(X)} [1], P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} lub 2 X . {\displaystyle 2^{X}.} W aksjomatycznej teorii mnogości Zermela-Fraenkla istnienie zbioru potęgowego postuluje aksjomat zbioru potęgowego.

To, że zbiór B {\displaystyle B} jest zbiorem potęgowym zbioru A , {\displaystyle A,} można formalnie zapisać tak:

B = P ( A ) x ( x B x A ) . {\displaystyle B={\mathcal {P}}(A)\;\equiv \;\forall x\;(x\in B\Leftrightarrow x\subseteq A).}

Uwaga: Ściśle biorąc, dla danego zbioru nie można podać definicji jego zbioru potęgowego, która zaczynała by się: „jest to zbiór, który...”, bo definicja taka zakłada istnienie zbioru przed jego zdefiniowaniem, a takie definiowanie jest zakazane w aksjomatycznej teorii ZF. Można jedynie formalnie zdefiniować dla dwóch zbiorów, kiedy jeden z nich jest zbiorem potęgowym drugiego.

Spis treści

Moc zbioru potęgowego | edytuj kod

Jeśli A {\displaystyle A} jest zbiorem n {\displaystyle n} -elementowym, to P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} ma dokładnie 2 n {\displaystyle 2^{n}} elementów. W szczególności, zbiór potęgowy zbioru pustego złożony jest tylko ze zbioru pustego, a więc ma 2 0 = 1 {\displaystyle 2^{0}=1} element. Ogólniej, dla dowolnego zbioru A {\displaystyle A}

| P ( A ) | = 2 | A | , {\displaystyle |{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|},}

gdzie | P ( A ) | , | A | {\displaystyle |{\mathcal {P}}(A)|,|A|} oznaczają moc (liczbę kardynalną) zbioru, odpowiednio, P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} i A . {\displaystyle A.} Zbiór potęgowy zbioru liczb naturalnych jest mocy continuum, tzn. jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych. Twierdzenie Cantora mówi, że dla każdego (skończonego albo nieskończonego) zbioru A , {\displaystyle A,} jego zbiór P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} jest większej mocy (ma „więcej elementów”).

Przykłady | edytuj kod

  • P ( ) = { } {\displaystyle {\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}}
  • P ( { } ) = { , { } } {\displaystyle {\mathcal {P}}(\{\varnothing \})=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}
  • P ( { 1 , 2 , 3 } ) = { , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 } } {\displaystyle {\mathcal {P}}(\{1,2,3\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. C.C. Chang, H.J. Keisler: Teoria modeli (tłum.ros.). Moskwa: Mir, 1977, s. 194. (ros.)

Bibliografia | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Zbiór potęgowy" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy