Zbiór pusty


Zbiór pusty w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zbiór pustyzbiór niezawierający żadnych elementów; zazwyczaj oznaczany symbolami ∅, , {\displaystyle \emptyset ,} a także {}, 0[1] lub Λ[2]. Zbiór, który nie jest pusty, tj. zawiera choćby jeden element, nazywany jest zbiorem niepustym.

W teorii mnogości Zermela-Fraenkla istnienie zbioru pustego jest zagwarantowane przez aksjomat zbioru pustego, a jego jedyność wynika z aksjomatu ekstensjonalności.

Spis treści

Własności | edytuj kod

  • Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru: A : A , {\displaystyle \forall A:\varnothing \subseteq A,}
bo zgodnie z definicją zachodzi x : ( x x A ) . {\displaystyle \forall x:(x\in \varnothing \implies x\in A).} Prawdziwość powyższej implikacji wynika z reguły z fałszu wynika wszystko.
  • Suma dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równa zbiorowi A: A : A = A {\displaystyle \forall A:A\cup \varnothing =A}
  • Iloczyn dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu: A : A = {\displaystyle \forall A:A\cap \varnothing =\varnothing }
  • Iloczyn kartezjański dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu: A : A × = {\displaystyle \forall A:A\times \varnothing =\varnothing }
  • Jedynym podzbiorem zbioru pustego jest zbiór pusty: A : ( A A = ) {\displaystyle \forall A:(A\subseteq \varnothing \implies A=\varnothing )}
Oznacza to, że zbiór potęgowy zbioru pustego zawiera jeden element, czyli zbiór pusty.
  • Moc zbioru pustego wynosi 0: | | = 0 {\displaystyle \left\vert \varnothing \right\vert =0}
  • Dla dowolnego zbioru A zbiór pusty jest relacją w A zwaną relacją pustą.
  • Dla dowolnego zbioru A można określić funkcję f : A , {\displaystyle f:\varnothing \to A,} zwaną funkcją pustą.
  • Jeżeli F ( x ) {\displaystyle F(x)} jest dowolną funkcją zdaniową, to prawdą jest, że: x : ( F ( x ) ¬ F ( x ) ) {\displaystyle \forall x\in \varnothing :(F(x)\land \lnot F(x))}
  • Ponadto dla dowolnej funkcji zdaniowej F ( x ) {\displaystyle F(x)} i zbioru A, na którym jest ona określona, zachodzi warunek: x A : ( F ( x ) ¬ F ( x ) ) A = {\displaystyle [\forall x\in A:(F(x)\land \lnot F(x))]\implies A=\varnothing }
  • { } { { } } {\displaystyle \varnothing \neq \{\varnothing \}\neq \{\{\varnothing \}\}} etc.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. RomanR. Sikorski RomanR., Rachunek różniczkowy i całkowy, Biblioteka Matematyczna, tom 28, Warszawa 1972, s. 12 .
  2. AndrzejA. Grzegorczyk AndrzejA., Zarys logiki matematycznej, t. 20, Warszawa 1973, s. 35 .

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Zbiór pusty" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy