Zbiór typu F-sigma


Zbiór typu F-sigma w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywamy zbiorem typu F σ {\displaystyle F_{\sigma }} (czytamy: „zbiór typu ef sigma”), gdy jest on sumą przeliczalnej rodziny zbiorów domkniętych.

Każdy zbiór domknięty jest typu F σ ; {\displaystyle F_{\sigma };} w przestrzeniach metryzowalnych każdy zbiór otwarty jest również tego typu – ogólnie w przestrzeniach doskonale normalnych każdy zbiór otwarty jest F σ . {\displaystyle F_{\sigma }.}

Dopełnienie zbioru typu F σ {\displaystyle F_{\sigma }} nazywamy zbiorem typu G-delta ( G δ ) . {\displaystyle (G_{\delta }).}

Suma przeliczalnej rodziny zbiorów typu F σ {\displaystyle F_{\sigma }} oraz przekrój skończonej rodziny takich zbiorów jest znów zbiorem typu F σ . {\displaystyle F_{\sigma }.}

Nazwa „zbiór typu F σ {\displaystyle F_{\sigma }} ” wzięła się ze zwyczaju oznaczania zbiorów domkniętych literą F , {\displaystyle F,} a indeksem σ {\displaystyle \sigma } – operacji przeliczalnej sumy. Zgodnie z taką konwencją przeliczalne przekroje zbiorów typu F σ {\displaystyle F_{\sigma }} zbiorami typu F σ δ {\displaystyle F_{\sigma \delta }} , ich przeliczalne sumy – zbiorami typu F σ δ σ {\displaystyle F_{\sigma \delta \sigma }} itd. Jeśli rozważaną przestrzenią jest R , {\displaystyle \mathbb {R} ,} to otrzymuje się w ten sposób coraz szersze klasy zbiorów borelowskich w R . {\displaystyle \mathbb {R} .}

Alternatywnym oznaczeniem na klasę zbiorów typu Fσ jest Σ 2 0 . {\displaystyle \mathbf {\Sigma } _{2}^{0}.}

Przykłady | edytuj kod

  • Zbiór liczb wymiernych jest typu F σ . {\displaystyle F_{\sigma }.}
  • Zbiór liczb niewymiernych nie jest typu F σ . {\displaystyle F_{\sigma }.} Wynika to z tego, że liczby niewymierne są gęstym zbiorem typu G δ . {\displaystyle G_{\delta }.} Gdyby liczby niewymierne były typu zbiorem F σ , {\displaystyle F_{\sigma },} to zbiór liczb wymiernych byłby gęstym zbiorem typu G σ . {\displaystyle G_{\sigma }.} Wówczas R {\displaystyle \mathbb {R} } dałby się przedstawić jako suma dwóch rozłącznych zbiorów gęstych typu G δ , {\displaystyle G_{\delta },} co wobec twierdzenia Baire’a jest niemożliwe.
Na podstawie artykułu: "Zbiór typu F-sigma" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy