Zbieżność prawie wszędzie


Zbieżność prawie wszędzie w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zbieżność prawie wszędzie ciągu funkcji względem (pewnej) miary – rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce znane jest ono pod nazwą zbieżność z prawdopodobieństwem 1 lub prawie na pewno.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Teoria miary | edytuj kod

Niech ( X , M ) {\displaystyle (X,{\mathfrak {M}})} będzie przestrzenią mierzalną oraz niech μ : M 0 , {\displaystyle \mu \colon {\mathfrak {M}}\longrightarrow [0,\infty ]} będzie miarą. Niech ( Y , d ) {\displaystyle (Y,d)} będzie przestrzenią metryczną, A M {\displaystyle A\in {\mathfrak {M}}} oraz f n , f : A Y . {\displaystyle f_{n},f\colon A\longrightarrow Y.}

Mówimy, że ciąg ( f n ) n N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji f {\displaystyle f} (względem miary μ {\displaystyle \mu } na zbiorze A {\displaystyle A} ), jeśli istnieje zbiór mierzalny B A , μ ( B ) = 0 {\displaystyle B\subset A,\mu (B)=0} taki, że

lim n f n ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)} dla x A B . {\displaystyle x\in A\setminus B.}

Ciąg funkcji ( f n ) n N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} jest więc zbieżny prawie wszędzie do funkcji f , {\displaystyle f,} jeśli jest on zbieżny punktowo do funkcji f {\displaystyle f} poza zbiorem miary zero.

Teoria prawdopodobieństwa | edytuj kod

Niech ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} będzie przestrzenią probabilistyczną.

Przypadek jednowymiarowy

Niech X , X 1 , X 2 , . . . : Ω R {\displaystyle X,X_{1},X_{2},...:\Omega \to \mathbb {R} } będą zmiennymi losowymi. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych ( X n ) n N {\displaystyle (X_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}} jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do zmiennej X , {\displaystyle X,} jeżeli

P ( { ω Ω : lim n X n ( ω ) = X ( ω ) } ) = 1. {\displaystyle P\left(\{\omega \in \Omega :\lim \limits _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\}\right)=1.}
Przypadek wielowymiarowy

Niech X , X 1 , X 2 , . . . : Ω R s {\displaystyle X,X_{1},X_{2},...:\Omega \to \mathbb {R} ^{s}} będą wektorami losowymi. Mówimy, że ciąg wektorów losowych ( X n ) n N {\displaystyle (X_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}} jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do wektora X , {\displaystyle X,} jeżeli

ε > 0   lim n P ( k = n { ω Ω : | | X k ( ω ) X ( ω ) | | < ε } ) = 1 , {\displaystyle \bigwedge \limits _{\varepsilon >0}\ \lim \limits _{n\to \infty }P\left(\bigcap \limits _{k=n}^{\infty }\{\omega \in \Omega :||X_{k}(\omega )-X(\omega )||<\varepsilon \}\right)=1,}

gdzie | | | | : R s 0 , ) {\displaystyle ||\cdot ||:\mathbb {R} ^{s}\to [0,\infty )} oznacza normę euklidesową w R s . {\displaystyle \mathbb {R} ^{s}.}

Uwagi | edytuj kod

  • Pojęcie zbieżności z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) jest odpowiednikiem zbieżności prawie wszędzie. W rachunku prawdopodobieństwa i statystyce terminy te są stosowane zamiennie.
  • Zdanie: „ciąg ( f n ) n N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji f {\displaystyle f} ”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:
f n p . w . f {\displaystyle f_{n}{\xrightarrow {p.w.}}f}

Własności | edytuj kod

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Zbieżność prawie wszędzie" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy