Zbieżność według miary


Zbieżność według miary w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zbieżność ciągu funkcji według (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce ten rodzaj zbieżności nazywany jest zbieżnością według prawdopodobieństwa lub zbieżnością stochastyczną.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Teoria miary | edytuj kod

Niech ( Ω , F , μ ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )} będzie przestrzenią z miarą oraz A F . {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}.} Mówi się, że ciąg funkcji prawie wszędzie skończonych f n : A R ¯ , n N {\displaystyle f_{n}\colon A\to {\overline {\mathbb {R} }},\,n\in \mathbb {N} } jest zbieżny według miary do funkcji f : A R ¯ , {\displaystyle f\colon A\to {\overline {\mathbb {R} }},} gdy:

ε > 0   lim n μ ( { x A : f n ( x ) , f ( x ) R , | f n ( x ) f ( x ) | ε } ) = 0 . {\displaystyle \bigwedge \limits _{\varepsilon >0}\ \left[\lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in A\colon f_{n}(x),f(x)\in \mathbb {R} ,|f_{n}(x)-f(x)|\geqslant \varepsilon \})=0\right].}

Teoria prawdopodobieństwa | edytuj kod

Niech ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} będzie przestrzenią probabilistyczną.

Przypadek jednowymiarowy

Niech X , X 1 , X 2 , . . . : Ω R {\displaystyle X,X_{1},X_{2},...:\Omega \to \mathbb {R} } będą zmiennymi losowymi. Ciąg zmiennych losowych ( X n ) n N {\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do zmiennej X , {\displaystyle X,} jeżeli

ε > 0   lim n P ( { ω Ω : | X n ( ω ) X ( ω ) | < ε } ) = 1. {\displaystyle \bigwedge \limits _{\varepsilon >0}\ \lim \limits _{n\to \infty }P\left(\{\omega \in \Omega :|X_{n}(\omega )-X(\omega )|<\varepsilon \}\right)=1.}

Ciąg zmiennych losowych ( X n ) n N {\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} nazywamy stochastycznie zbieżnym do stałej c , {\displaystyle c,} jeżeli

ε > 0   lim n P ( { ω Ω : | X n ( ω ) c | < ε } ) = 1. {\displaystyle \bigwedge \limits _{\varepsilon >0}\ \lim \limits _{n\to \infty }P\left(\{\omega \in \Omega :|X_{n}(\omega )-c|<\varepsilon \}\right)=1.}
Przypadek wielowymiarowy

Niech X , X 1 , X 2 , . . . : Ω R s {\displaystyle X,X_{1},X_{2},...:\Omega \to \mathbb {R} ^{s}} będą wektorami losowymi. Ciąg wektorów losowych ( X n ) n N {\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do wektora X , {\displaystyle X,} jeżeli

ε > 0   lim n P ( { ω Ω : X n ( ω ) X ( ω ) < ε } ) = 1 , {\displaystyle \bigwedge \limits _{\varepsilon >0}\ \lim \limits _{n\to \infty }P\left(\{\omega \in \Omega :\|X_{n}(\omega )-X(\omega )\|<\varepsilon \}\right)=1,}

gdzie : R s 0 , ) {\displaystyle \|{\cdot }\|:\mathbb {R} ^{s}\to [0,\infty )} oznacza normę euklidesową w R s . {\displaystyle \mathbb {R} ^{s}.}

Uwagi | edytuj kod

  • Terminy zbieżność według miary, zbieżność stochastyczna i zbieżność według prawdopodobieństwa są w statystyce i rachunku prawdopodobieństwa stosowane zamiennie.
  • Stochastyczna zbieżność ciągu zmiennych losowych ( X n ) n N {\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }} do stałej c {\displaystyle c} oznacza, że przy n {\displaystyle n\to \infty } gęstość prawdopodobieństwa koncentruje się wokół wartości c , {\displaystyle c,} tzn. rozkład jednopunktowy jest rozkładem granicznym ciągu ( X n ) n N . {\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }.}
  • Zdanie: „ciąg ( f n ) n N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} jest zbieżny według miary μ {\displaystyle \mu } do funkcji f {\displaystyle f} ”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko: f n μ f {\displaystyle f_{n}{\xrightarrow {\mu }}f}

Twierdzenia o zbieżności według miary | edytuj kod

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Zbieżność według miary" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy