Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)


Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zdarzenie losowemierzalny podzbiór A {\displaystyle A} zbioru zdarzeń elementarnych Ω {\displaystyle \Omega } danego doświadczenia losowego (zawierający pojedyncze elementy – zdarzenia elementarne lub dowolną ich liczbę). Zdarzeniem losowym nie będzie podzbiór, który jest niemierzalny, jak np. zbiór Vitalego, zbiór Bernsteina. Wymóg mierzalności jest konieczny, aby było możliwe przypisanie zdarzeniom prawdopodobieństw w sposób spójny. Wymóg mierzalności implikuje, że możliwe zdarzenia muszą tworzyć sigma-ciało na Ω . {\displaystyle \Omega .}

Różne zdarzenia losowe nie są zwykle równie prawdopodobne, ponieważ mogą zawierać różne zbiory wyników, jakie bierze się pod uwagę. Np. dla rzutu 1 kostką mamy Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , {\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\},} gdzie liczby określają możliwe do uzyskania liczby oczek. Zdarzeniami losowymi określonymi na Ω {\displaystyle \Omega } są np.: A = { 6 } {\displaystyle A=\{6\}} – zdarzenie, że wypadło sześć oczek, B = { 1 , 2 } {\displaystyle B=\{1,2\}} – zdarzenie, że wypadły nie więcej niż dwa oczka, C = { 1 , 3 , 5 } {\displaystyle C=\{1,3,5\}} – zdarzenie, że wypadła nieparzysta liczba oczek itp. Zdarzeniom tym przypisane są prawdopodobieństwa P ( A ) = 1 6 , P ( B ) = 2 6 , P ( C ) = 3 6 , {\displaystyle P(A)={\frac {1}{6}},P(B)={\frac {2}{6}},P(C)={\frac {3}{6}},} proporcjonalne do liczby zdarzeń elementarnych, tworzących poszczególne zdarzenia losowe. Zauważmy, że A , B , C Ω . {\displaystyle A,B,C\subset \Omega .}

Spis treści

Definicja ogólna | edytuj kod

Niech ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} będzie przestrzenią probabilistyczną. Zdarzeniami losowymi nazywamy dowolne zbiory A , B , . . . , X , Y , . . . {\displaystyle A,B,...,X,Y,...} należące do σ-ciała F {\displaystyle {\mathcal {F}}} utworzonego na przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω . {\displaystyle \Omega .} Samo σ-ciało F {\displaystyle {\mathcal {F}}} nazywa się zbiorem zdarzeń losowych.

Zdarzenia losowe są zbiorami, więc podlegają wszelkim prawom, zasadom i działaniom określonym dla zbiorów.

Powyższa definicja stosuje się zarówno, gdy zbiór zdarzeń elementarnych jest zbiorem dyskretnym, jak i gdy jest on zbiorem niepoliczalnym (np. zbiór liczb rzeczywistych)

Podstawowe pojęcia | edytuj kod

1) Zdarzenie elementarne – pojedynczy wynik eksperymentu losowego.

Np. a) w rzucie 1 kostką zdarzeniami elementarnymi są możliwe różne liczby oczek, uzyskane w pojedynczym rzucie.

b) w rzucie 2 kostkami możliwymi wynikami będą pary uporządkowane liczb, z których pierwsza określa liczbę oczek uzyskaną na pierwszej kostce, a druga – liczbę oczek uzyskaną na drugiej kostce.

2) Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω {\displaystyle \Omega } – zbiór możliwych wyników eksperymentu losowego.

Np. dla rzutu 1 kostką mamy Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , {\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\},} gdzie liczby określają możliwe do uzyskania liczby oczek.

3) Zdarzenia sprzyjające danemu zdarzeniu – zdarzenia elementarne należące do danego zdarzenia losowego. Np. dla zdarzenia A = { 1 , 3 , 5 } {\displaystyle A=\{1,3,5\}} zdarzeniami sprzyjającymi są zdarzenia elementarne { 1 } , {\displaystyle \{1\},} { 3 } , {\displaystyle \{3\},} { 5 } . {\displaystyle \{5\}.}

4) Zdarzenie przeciwne do danego zdarzenia – zdarzenia będące dopełnieniem danego zdarzenia do zbioru Ω . {\displaystyle \Omega .}

Np. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia, że wypadła nieparzysta liczba oczek B = { 1 , 3 , 5 } {\displaystyle B=\{1,3,5\}} jest zdarzenie C , {\displaystyle C,} że wypadła parzysta liczba oczek, tj. C = Ω B = { 2 , 4 , 6 } {\displaystyle C=\Omega \setminus B=\{2,4,6\}}

Dowolność wyboru σ-ciała | edytuj kod

Niech eksperyment losowy polega na rzucaniu sześcienną kostką do gry.

Wtedy zbiór zdarzeń elementarnych ma postać Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } . {\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}.} Jednak σ-ciało nie są z góry określone. Możemy wybrać różne σ-ciała zdarzeń losowych, np.

  • F 1 = { , Ω } {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}} – σ-ciało nazywamy zdegenerowanym,, gdyż zawiera tylko zdarzenie niemożliwe {\displaystyle \emptyset } oraz zdarzenie pewne Ω . {\displaystyle \Omega .}
  • F 2 = { , Ω , { 1 } , { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } } {\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}=\left\{\emptyset ,\Omega ,\{1\},\{2,3,4,5,6\}\right\}} – σ-ciało zawiera oprócz zdarzenia niemożliwego i pewnego także zdarzenia { 1 } {\displaystyle \{1\}} oraz { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } . {\displaystyle \{2,3,4,5,6\}.}
  • F 3 = 2 Ω {\displaystyle {\mathcal {F}}_{3}=2^{\Omega }} – σ-ciało tworzy rodzina wszystkich podzbiorów Ω , {\displaystyle \Omega ,} tzn. dowolny podzbiór zbioru Ω {\displaystyle \Omega } należy do σ-ciała (jest to tzw. zbiór potęgowy).

Wszystkie te wybory są dopuszczalne i jednakowo uprawnione. Wybór podyktowany jest postawionym problemem, na który chcemy odpowiedzieć.

Zobacz też | edytuj kod

Typy zdarzeń losowych:

Paradoksy teorii prawdopodobieństwa:

Bibliografia | edytuj kod

  • W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. T. 1. Rachunek prawdopodobieństwa. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999, s. 7. ISBN 83-01-05928-1.
  • W. Szlenk, Rachunek prawdopodobieństwa, Warszawa 1975.
Na podstawie artykułu: "Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy