Zespół kanoniczny


Zespół kanoniczny w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zespół kanoniczny – zespół stanów pewnego układu kontaktującego się termicznie ze zbiornikiem o ustalonej temperaturze. Prawdopodobieństwo, że układ ten znajdzie się w określonym stanie o energii Ei jest dane rozkładem kanonicznym

P ( E i ) = exp ( E i k T ) Z , {\displaystyle P(E_{i})={\frac {\exp \left(-{\frac {E_{i}}{kT}}\right)}{Z}},}

gdzie

k – stała Boltzmanna, T – temperatura zbiornika, Z – suma statystyczna.

Wzór na sumę statystyczną wynika z warunku unormowania rozkładu po całym zespole kanonicznym do jedności

Z = i = 1 N exp ( E i k T ) , {\displaystyle Z=\sum \limits _{i=1}^{N}{\exp \left(-{\frac {E_{i}}{kT}}\right)},}

gdzie:

N – liczba możliwych stanów układu.

Średnią wartość pewnego parametru θ tego układu można wyznaczyć ze wzoru

θ = i = 1 N θ i P ( E i ) , {\displaystyle \left\langle \theta \right\rangle =\sum \limits _{i=1}^{N}{\theta _{i}P\left(E_{i}\right)},}

czyli

θ = i = 1 N θ i exp ( E i k T ) i = 1 N exp ( E i k T ) . {\displaystyle \left\langle \theta \right\rangle ={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}{\theta _{i}\exp \left(-{\frac {E_{i}}{kT}}\right)}}{\sum \limits _{i=1}^{N}{\exp \left(-{\frac {E_{i}}{kT}}\right)}}}.}

Związek z termodynamiką | edytuj kod

Kanoniczna suma statystyczna jest powiązana z energią swobodną Helmholtza zależnością

F = k T ln ( Z ) . {\displaystyle F=-kT\ln(Z).}

Dla układu kanonicznego energia swobodna nigdy nie rośnie.

Energia w układzie kanonicznym | edytuj kod

E = β ln ( Z ) , {\displaystyle \langle E\rangle =-{\frac {\partial }{\partial \beta }}\ln(Z),}

gdzie:

β = 1 k T , {\displaystyle \beta ={\frac {1}{kT}},} k {\displaystyle k} stała Boltzmana, T {\displaystyle T} temperatura.

Natomiast dyspersja względna σ E E 1 N {\displaystyle {\frac {\sigma _{E}}{\langle E\rangle }}\simeq {\frac {1}{\sqrt {N}}}} więc przy liczbach cząstek rzędu liczby Avogadry (~1023), średnia energia jest stała, dlatego też można ją utożsamiać z energią wewnętrzną U . {\displaystyle U.}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • F. Reif: Fizyka statystyczna. Warszawa: PWN, 1973.
  • Kerson Huang: Mechanika statystyczna. Warszawa: PWN, 1978.
  • Kacper Zalewski: Wykłady z termodynamiki fenomenologicznej i statystycznej. Warszawa: PWN, 1969.
Na podstawie artykułu: "Zespół kanoniczny" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy