Zginanie


Zginanie w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Zginanie belki

Zginanie (gięcie) – deformacja ciała (pręta, płyty, powłoki), która polega na zmianie krzywizny jego osi lub powierzchni środkowej[1]. W przekrojach poprzecznych elementów zginanych występuje nierównomierność (liniowa zmienność) rozkładu naprężeń normalnych, spowodowana działaniem momentów zginających te przekroje[2].

W mechanice konstrukcji rzeczywiste ciała zastępuje się ich modelami mechanicznymi takimi jak pręty, płyty, powłoki. Obliczaniem zginanych płyt i powłok zajmują się odpowiednie działy mechaniki ośrodków ciągłych[1].

Spis treści

Układ współrzędnych | edytuj kod

We wszystkich rozważaniach posługiwać się będziemy prawoskrętnym układem współrzędnych 0 x y z , {\displaystyle 0xyz,} związanym z przekrojem poprzecznym pręta i utożsamianym z układem jego osi głównych, centralnych. Oś 0 x {\displaystyle 0x} pokrywać się będzie z osią pręta skierowaną poziomo „w prawo”, oś 0 y {\displaystyle 0y} – skierujemy „poziomo w głąb”, a oś 0 z {\displaystyle 0z} – „w górę”. Znaki występujące we wzorach będą się odnosić do takiego właśnie układu współrzędnych.

Rodzaje zginania | edytuj kod

W wytrzymałości materiałów rozróżniane są następujące przypadki zginania:

Czyste, płaskie zginanie pręta pryzmatycznego Momenty zginające w belce
  • Zginanie czyste (proste) występuje wówczas, gdy we wszystkich przekrojach poprzecznych pręta, na całej jego długości, siły wewnętrzne redukują się tylko do momentu zginającego, o wektorze leżącym w płaszczyźnie przekroju pręta[2]. Jeżeli ten wektor ma dwie, różne od zera składowe M y {\displaystyle M_{y}} i M z {\displaystyle M_{z}} (liczone względem głównych centralnych osi bezwładności 0 y , 0 z {\displaystyle 0y,0z} ), to zginanie takie jest ukośne (dwuosiowe, skośne). W przeciwnym razie, gdy np. M z = 0 , {\displaystyle M_{z}=0,} zginanie jest płaskie (jednoosiowe, proste) i zachodzi w płaszczyźnie 0 z x . {\displaystyle 0zx.} Naprężenia normalne σ n , {\displaystyle \sigma _{n},} w przypadku czystego zginania, określone są przez siły przekrojowe wzorem
σ n = M z I z y + M y I y z , {\displaystyle \sigma _{n}=-{\frac {M_{z}}{I_{z}}}y+{\frac {M_{y}}{I_{y}}}z,} w którym przez I y , I z {\displaystyle I_{y},I_{z}} oznaczono główne centralne momenty bezwładności przekroju pręta.
  • Zginanie poprzeczne charakteryzuje się występowaniem sił poprzecznych Q y , Q z , {\displaystyle Q_{y},Q_{z},} spowodowanych działaniem obciążeń prostopadłych do osi pręta[2]. Siły te sprawiają, że wartości momentów zginających M y {\displaystyle M_{y}} i M z {\displaystyle M_{z}} są zmienne na długości pręta. Naprężenia normalne określa ten sam wzór co wyżej.
  • Ściskanie/rozciąganie mimośrodowe jest superpozycją działania momentów zginających M y {\displaystyle M_{y}} i M z {\displaystyle M_{z}} z działaniem siły podłużnej N {\displaystyle N} . Naprężenie normalne określone jest wzorem[2]
σ n = N A M z I z y + M y I y z . {\displaystyle \sigma _{n}={\frac {N}{A}}-{\frac {M_{z}}{I_{z}}}y+{\frac {M_{y}}{I_{y}}}z.} Ten ogólny przypadek zginania występuje we wszystkich elementach konstrukcji zbudowanych z prętów smukłych, w których wymiary przekroju poprzecznego nie przekraczają 1/10 długości osi pręta. Maksymalne naprężenie normalne w przekroju poprzecznym pręta występuje dla z m a x {\displaystyle z_{max}} i wynosi: σ m a x = M y I y z m a x = M y W y , W y = I y z m a x , {\displaystyle \sigma _{max}={\frac {M_{y}}{I_{y}}}z_{max}={\frac {M_{y}}{W_{y}}},\qquad W_{y}={\frac {I_{y}}{z_{max}}},}

gdzie:

  • W y {\displaystyle W_{y}} – wskaźnik (współczynnik) wytrzymałości przekroju na zginanie, który zależy od rozmiaru i kształtu przekroju pręta.

Zgodnie z hipotezą wytężeniową naprężenie σ m a x {\displaystyle \sigma _{max}} musi spełniać warunek:

σ m a x < k g , {\displaystyle \sigma _{max}<k_{g},}

gdzie:

k g {\displaystyle k_{g}} – dopuszczalna wytrzymałość na zginanie.

Teoria Eulera-Bernoulliego | edytuj kod

W praktyce inżynierskiej problem zginania prętów rozpatrywany jest na gruncie prostej teorii Eulera-Bernoulliego. Podstawowym założeniem tej teorii jest, że odcinek prosty i prostopadły do osi pręta (lub powierzchni środkowej płyty lub powłoki) przed deformacją, pozostaje prosty i prostopadły po wystąpieniu deformacji. Jest to konsekwencją pominięcia wpływu naprężeń stycznych w przekroju. Dla przypadku czystego płaskiego zginania, względem osi 0 y , {\displaystyle 0y,} otrzymujemy dzięki temu liniową zmienność odkształcenia ϵ x {\displaystyle \epsilon _{x}} wzdłuż wysokości przekroju pręta

ϵ x = z ρ . {\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {z}{\rho }}.}

Zgodnie z prawem Hooke’a naprężenia normalne wyrażają się wzorem

σ x = E z ρ . {\displaystyle \sigma _{x}=E{\frac {z}{\rho }}.}

W rozważanym przypadku otrzymujemy:

M y = A z σ x d A = E A z 2 ρ d A = E ρ A z 2 d A = E ρ I y , {\displaystyle M_{y}=\int _{A}z\sigma _{x}dA=E\int _{A}{\frac {z^{2}}{\rho }}dA={\frac {E}{\rho }}\int _{A}z^{2}dA={\frac {E}{\rho }}I_{y},}

gdzie I y {\displaystyle I_{y}} jest momentem bezwładności względem osi 0 y {\displaystyle 0y} pręta.

Z porównania wzorów wynika, że

σ x ( x , z ) = M y ( x ) I y z . {\displaystyle \sigma _{x}(x,z)={\frac {M_{y}(x)}{I_{y}}}z.}

Dla bardzo małych przemieszczeń i odkształceń krzywiznę osi pręta można przybliżyć drugą pochodną linii ugięcia w ( x ) : {\displaystyle w(x){:}}

κ = 1 ρ w ( x ) , {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{\rho }}\approx w''(x),}

otrzymując równanie różniczkowe tej linii:

E I y w ( x ) = M y ( x ) . {\displaystyle EI_{y}w''(x)=-M_{y}(x).}

Na podstawie twierdzenia Schwedlera-Żurawskiego, przy założeniu że E I y = c o n s t , {\displaystyle EI_{y}=\mathrm {const} ,} otrzymujemy podstawowe równanie Eulera-Bernoulliego dla pręta zginanego

E I y w I V ( x ) = q z ( x ) . {\displaystyle EI_{y}w^{IV}(x)=q_{z}(x).}

Przykład 1 | edytuj kod

Na podstawie teorii Eulera-Bernoulliego, dla przykładu, rozważymy szczegółowo przypadek płaskiego zginania poprzecznego, gdy M z = 0. {\displaystyle M_{z}=0.}

Analizując równowagę elementu o długości d x {\displaystyle dx} wyciętego z pręta zginanego poprzecznie obciążeniem zewnętrznym q z ( x ) , {\displaystyle q_{z}(x),} dochodzi się, na podstawie zapisanych dla niego dwu równań równowagi statycznej w płaszczyźnie 0 z x {\displaystyle \;0zx\;} do dwóch podstawowych związków pomiędzy obciążeniem, siłą poprzeczną i momentem zginającym (twierdzenie Schwedlera-Żurawskiego)

d Q z ( x ) d x = q z ( x ) , d M y ( x ) d x = Q z ( x ) , {\displaystyle {\frac {dQ_{z}(x)}{dx}}=-q_{z}(x),\qquad {\frac {dM_{y}(x)}{dx}}=Q_{z}(x),}

skąd po zróżniczkowaniu i podstawieniu otrzymuje się podstawowe równanie

d 2 M y ( x ) d x 2 = q z ( x ) . {\displaystyle {\frac {d^{2}M_{y}(x)}{dx^{2}}}=-q_{z}(x).}

Prostoliniowy pręt pryzmatyczny zginany względem osi 0 y {\displaystyle 0y} tzn. w płaszczyźnie 0 z x , {\displaystyle 0zx,} ulega wygięciu w tej płaszczyźnie. Deformacja ta polega na tym, że oś pręta, prostoliniowa przed wygięciem, przybiera postać krzywej w ( x ) {\displaystyle w(x)} o krzywiźnie κ ( x ) . {\displaystyle \kappa (x).} Parametry tej krzywej określa działające obciążenie i ich wyznaczenie można przeprowadzić następująco.

Z nieodkształconego pręta wycinamy przekrojami A ,   B {\displaystyle A,\ B} element o długości d x . {\displaystyle dx.} Proste prostopadłe do osi w tych punktach są do siebie równoległe. Na skutek wygięcia osi przekroje A ,   B {\displaystyle A,\ B} obracają się względem siebie o kąt d φ {\displaystyle d\varphi } i taki sam kąt tworzą proste dotąd równoległe. Przecinają się one w punkcie O {\displaystyle O} odległym o ρ {\displaystyle \rho } od osi 0 x . {\displaystyle 0x.} Odległość tę nazywamy promieniem krzywizny, przy czym zachodzi związek κ = 1 ρ . {\displaystyle \kappa ={\tfrac {1}{\rho }}.} Wydłużenie „włókna” położonego w odległości z {\displaystyle z} od osi obojętnej przekroju wynosi Δ d x . {\displaystyle \Delta dx.}

Po uwzględnieniu podobieństwa trójkątów i wykorzystaniu wzorów

σ = ϵ E , σ = M y z I y {\displaystyle \sigma =\epsilon E,\qquad \sigma ={\frac {M_{y}z}{I_{y}}}}

otrzymujemy dla wydłużenia jednostkowego ϵ {\displaystyle \epsilon } wzór

ϵ = Δ d x d x = z ρ = σ E = M y z E I y . {\displaystyle \epsilon ={\frac {\Delta dx}{dx}}={\frac {z}{\rho }}={\frac {\sigma }{E}}={\frac {M_{y}z}{EI_{y}}}.}

Uwzględniając fakt, że κ = 1 ρ w {\displaystyle \kappa ={\tfrac {1}{\rho }}\approx w''} otrzymujemy przy założeniu, że E I y ( x ) = c o n s t , {\displaystyle EI_{y}(x)=\mathrm {const} ,} następujące związki: E I y w ( x ) = M y ( x ) , E I y w ( x ) = Q z ( x ) , E I y w ( x ) = q ( x ) _ . {\displaystyle EI_{y}w''(x)=-M_{y}(x),\quad EI_{y}w'''(x)=-Q_{z}(x),\quad {\underline {EI_{y}w''''(x)=q(x)}}.}

W przypadku ogólnym, dla każdego przedziału x 0 , x {\displaystyle [x_{0},\,x]} osi 0 x {\displaystyle 0x} pręta pryzmatycznego, na długości którego q ( x ) = q = c o n s t , {\displaystyle q(x)=q=\mathrm {const} ,} można napisać

w ( x ) = w 0 + 1 2 M 0 ( x x 0 ) 2 + 1 6 Q 0 ( x x 0 ) 3 + 1 24 q z ( x x 0 ) 4 , w ( x ) = w 0 + M 0 ( x x 0 ) + 1 2 Q 0 ( x x 0 ) 2 + 1 6 q z ( x x 0 ) 3 , E I y w ( x ) = M 0 + Q 0 ( x x 0 ) + 1 2 q z ( x x 0 ) 2 , E I y w ( x ) = Q 0 + q z ( x x 0 ) , E I y w ( x ) = q z , {\displaystyle {\begin{aligned}w(x)&=w_{0}+{\tfrac {1}{2}}M_{0}(x-x_{0})^{2}+{\tfrac {1}{6}}Q_{0}(x-x_{0})^{3}+{\tfrac {1}{24}}q_{z}(x-x_{0})^{4},\\w^{'}(x)&=w_{0}^{'}+M_{0}(x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}Q_{0}(x-x0)^{2}+{\tfrac {1}{6}}q_{z}(x-x_{0})^{3},\\EI_{y}w''(x)&=M_{0}+Q_{0}(x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}q_{z}(x-x_{0})^{2},\\EI_{y}w'''(x)&=Q_{0}+q_{z}(x-x_{0}),\\EI_{y}w''''(x)&=q_{z},\end{aligned}}}

gdzie przez w 0 , w 0 , Q 0 , M 0 {\displaystyle \;w_{0},\,w_{0}^{'},\,Q_{0},\,M_{0}\;} oznaczono wartości obliczone dla przekroju w punkcie x 0 {\displaystyle \;x_{0}\;} na osi pręta.

Przykład 2 | edytuj kod

Dana jest pryzmatyczna ( E I y ( x ) = c o n s t {\displaystyle EI_{y}(x)=const} ) belka wspornikowa o długości L {\displaystyle L} utwierdzona na prawym końcu ( x = L {\displaystyle x=L} ) i zginana w płaszczyźnie 0 x z {\displaystyle 0xz} obciążeniem o wartości q stałej na całej długości. Warunki brzegowe są dla niej następujące:

M y ( 0 ) = Q z ( 0 ) = w ( L ) = w ( L ) = 0 , {\displaystyle M_{y}(0)=Q_{z}(0)=w(L)=w^{'}(L)=0,}

gdzie przez w ( x ) {\displaystyle w(x)} oznaczono rzędną linii ugięcia osi.

Otrzymujemy kolejno po uwzględnieniu warunków brzegowych

E I y w = q , E I y w = q x , E I y w = 1 2 q x 2 , {\displaystyle EI_{y}w^{''''}=q,\quad EI_{y}w^{'''}=qx,\quad EI_{y}w^{''}={\frac {1}{2}}qx^{2},} E I y w = 1 6 q ( x 3 L 3 ) , E I y w = q 24 ( x 4 4 L 3 x + 3 L 4 ) {\displaystyle EI_{y}w^{'}={\frac {1}{6}}q(x^{3}-L^{3}),\quad EI_{y}w={\frac {q}{24}}(x^{4}-4L^{3}x+3L^{4})}

i dalej

w ( 0 ) = 1 8 q L 4 E I y , w ( 0 ) = 1 6 q L 3 E I y , M y ( L ) = 1 2 q L 2 , Q z ( L ) = q L . {\displaystyle w(0)={\frac {1}{8}}{\frac {qL^{4}}{EI_{y}}},\quad w^{'}(0)=-{\frac {1}{6}}{\frac {qL^{3}}{EI_{y}}},\quad M_{y}(L)={\frac {1}{2}}qL^{2},\quad Q_{z}(L)=qL.}

Przypisy | edytuj kod

  1. a b S.P. Timoshenko, S. Vojnowskij-Krieger, Teoria płyt i powłok, Arkady, Warszawa 1962.
  2. a b c d S. Piechnik, Wytrzymałość materiałów, s. 167–237, Warszawa-Kraków 1980, Wyd. PWN

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Zginanie" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy