Zmienna losowa


Zmienna losowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zmienna losowafunkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Intuicyjnie: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

Zmienną losową jest na przykład funkcja opisująca wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, można przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami mogą być: stan techniczny urządzenia czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6).

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Zmienną losową (rzeczywistą) na przestrzeni probabilistycznej ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} nazywamy dowolną rzeczywistą funkcję mierzalną ξ : Ω R , {\displaystyle \xi \colon \Omega \to \mathbb {R} ,} tzn. funkcję ξ {\displaystyle \xi } spełniającą warunek

ξ 1 ( B ) F {\displaystyle \xi ^{-1}(B)\in {\mathcal {F}}} dla każdego zbioru borelowskiego B R . {\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} .}

Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np. X , Y , Z {\displaystyle X,Y,Z} lub liter greckich ξ , η , {\displaystyle \xi ,\eta ,} odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje.

Uogólnienia | edytuj kod

Rozważa się również zmienne losowe o wartościach w abstrakcyjnych przestrzeniach topologicznych (żeby analogicznie mówić o przeciwobrazach zbiorów borelowskich danej przestrzeni topologicznej) – i tak, na przykład: zmienne losowe o wartościach zespolonych, nazywa się zmiennymi losowymi zespolonymi. Odwzorowanie mierzalne określone na przestrzeni Ω {\displaystyle \Omega } o wartościach w przestrzeni R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} nazywa się wektorem losowym. Wektor losowy ma postać X ( ω ) = ( X 1 ( ω ) , X 2 ( ω ) , , X n ( ω ) ) , {\displaystyle X(\omega )=\left(X_{1}(\omega ),X_{2}(\omega ),\dots ,X_{n}(\omega )\right),} gdzie X i {\displaystyle X_{i}} dla i = 1 , , n {\displaystyle i=1,\dots ,n} są zmiennymi losowymi rzeczywistymi.

Często rozważa się zmienne losowe o wartościach w przestrzeniach polskich ze względu na ich dobre własności.

Przykłady | edytuj kod

  • Niech Ω {\displaystyle \Omega } będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu dwiema kośćmi do gry, składa się on z 36 możliwych wyników. Przypisanie każdej kostce liczby wyrzuconych oczek i zobrazowanie wyniku w postaci pary ( i , j ) R 2 , {\displaystyle (i,j)\in \mathbb {R} ^{2},} gdzie 1 i , j 6 {\displaystyle 1\leqslant i,j\leqslant 6} jest zmienną losową.
Zmiennymi losowymi są również następujące funkcje: „iloczyn liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „suma liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „liczba oczek wyrzuconych na pierwszej z kostek”.
  • Niech dane będą: Ω = 0 , 1 , {\displaystyle \Omega =[0,1],} σ-ciało F {\displaystyle {\mathcal {F}}} zbiorów borelowskich przedziału 0 , 1 {\displaystyle [0,1]} oraz określona na nim miara Lebesgue’a P . {\displaystyle P.} Każda funkcja ciągła ξ : Ω R {\displaystyle \xi \colon \Omega \to \mathbb {R} } jest zmienną losową.

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004, s. 59. ISBN 83-89716-01-1.
Kontrola autorytatywna (zmienna):
Na podstawie artykułu: "Zmienna losowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy