Alternatywa


Alternatywa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Alternatywa, suma logiczna, alternatywa zwykła[a], alternatywa nierozłączna[a], alternatywa łączna[a]zdanie logiczne o postaci p lub q, gdzie p, q są zdaniami. W logice matematycznej alternatywę zapisuje się p q . {\displaystyle p\,\lor \,q.} Alternatywa p lub q jest zdaniem prawdziwym, gdy co najmniej jedno z jej zdań składowych p, q jest prawdziwe.

Spis treści

W logice matematycznej | edytuj kod

Alternatywa (suma logiczna):

  1. Działanie dwuargumentowe określone w dowolnym zbiorze zdań bądź w zbiorze funkcji zdaniowych, które zdaniom (funkcjom zdaniowym) p {\displaystyle p} i q {\displaystyle q} przypisuje zdanie (funkcję zdaniową) prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwe jest przynajmniej jedno ze zdań (funkcji) p {\displaystyle p} i q . {\displaystyle q.}
  2. Dwuargumentowy spójnik zdaniowy, oznaczany p q {\displaystyle p\,\lor \,q} (łac. p  vel  q {\displaystyle p{\mbox{ vel }}q} ) o znaczeniu odpowiadającemu wyżej zdefiniowanemu działaniu określonemu w zbiorze A p , q . {\displaystyle A\ni p,q.} Od poprzedniej definicji różni się tym, że jest definiowany na poziomie syntaktycznym, dzięki czemu unika się określania jego dziedziny.
  3. Zdanie logiczne postaci p q , {\displaystyle p\,\lor \,q,} gdzie p {\displaystyle p} i q {\displaystyle q} są zdaniami.
Dwa symbole bramki logicznej OR (sumy logicznej)

Alternatywa pozostaje w ścisłym związku z dodawaniem zbiorów (patrz algebra zbiorów). Dlatego zdanie utworzone z innych zdań przy użyciu alternatywy jest też nazywane sumą logiczną. Zdania składowe p , {\displaystyle p,} q {\displaystyle q} nazywane są składnikami alternatywy[1].

Alternatywa jest prawdziwa, jeżeli co najmniej jeden z jej składników jest prawdziwy[1][2]. W przeciwnym razie alternatywa zdań jest fałszywa.

gdzie: 1 – zdanie prawdziwe; 0 – zdanie fałszywe

Notacja | edytuj kod

Zestawienie symboli alternatywy, stosowanych przez różnych autorów[3][4]:

W językach programowania dla oznaczenia alternatywy używany jest często angielski spójnik OR. W języku C/C++ i pochodnych oznacza się ją przez „||”.

Przykłady | edytuj kod

  • Alternatywa zdań: 12 dzieli się przez 3 lub Madryt jest stolicą Hiszpanii jest prawdziwa, bo oba jej zdania składowe są prawdziwe.
  • Alternatywa zdań: 10 > 12  lub  10 < 11 {\displaystyle 10>12{\mbox{ lub }}10<11} jest prawdziwa, bo jeden z jej składników jest prawdziwy (prawdą jest, że 10 jest liczbą mniejszą niż 11).
  • Alternatywa zdań: Kraków leży nad Odrą lub Wisła nie płynie w Polsce jest fałszywa, bo oba jej zdania składowe są fałszywe.

Własności | edytuj kod

Alternatywa charakteryzuje się następującymi cechami:

p q = q p {\displaystyle p\,\lor \,q=q\,\lor \,p} [5][6] p ( q r ) = ( p q ) r {\displaystyle p\,\lor \,(q\,\lor \,r)=(p\,\lor \,q)\,\lor \,r} [5][6] p p p {\displaystyle p\,\lor \,p\,\Leftrightarrow \,p} [7] p ( q r ) ( p q ) ( p r ) {\displaystyle p\,\land \,(q\,\lor \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\land \,q)\,\lor \,(p\,\land \,r)} p ( q r ) ( p q ) ( p r ) {\displaystyle p\,\lor \,(q\,\land \,r)\,\Leftrightarrow \,(p\,\lor \,q)\,\land \,(p\,\lor \,r)} [5][6] ¬ ( p q ) ( ¬ p ¬ q ) {\displaystyle \neg \,(p\,\lor \,q)\Leftrightarrow (\neg \,p\,\land \,\neg \,q)} ¬ ( p q ) ( ¬ p ¬ q ) {\displaystyle \neg \,(p\,\land \,q)\Leftrightarrow (\neg \,p\,\lor \,\neg \,q)} [8] Negacja alternatywy jest równoważna koniunkcji negacji, natomiast negacja koniunkcji – alternatywie negacji[9].

W języku naturalnym | edytuj kod

Bardziej znane jest potoczne znaczenie słowa „alternatywa”: wybór z dwóch wykluczających się możliwości[10][11][12]. Pokrywa się ono z matematycznym pojęciem alternatywy rozłącznej, a nie klasycznej alternatywy przedstawianej w logice matematycznej.

Zobacz też | edytuj kod


Uwagi | edytuj kod

  1. a b c Taka nazwa jest niekiedy stosowana dla odróżnienia od alternatywy rozłącznej.

Przypisy | edytuj kod

  1. a b Rasiowa 1975 ↓, s. 164.
  2. Mostowski 1948 ↓, s. 9.
  3. Mostowski 1948 ↓, s. 13.
  4. Rasiowa 1975 ↓, s. 170.
  5. a b c Mostowski 1948 ↓, s. 28.
  6. a b c Rasiowa 1975 ↓, s. 196.
  7. Mostowski 1948 ↓, s. 29.
  8. Rasiowa 1975 ↓, s. 195.
  9. Mostowski 1948 ↓, s. 27.
  10. Malinowski 2002 ↓.
  11. Bańko 2002 ↓.
  12. Słownik języka polskiego 1997–2014 ↓.

Bibliografia | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Alternatywa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy