Negacja


Negacja w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Negacja (z łac. negatio[1] inaczej zaprzeczenie, ¬) – zdanie mające postać nieprawda, że p, gdzie p jest zdaniem. W rachunku zdań negacja zapisywana jest jako: ¬ p {\displaystyle \neg \,p\,\!} (także p {\displaystyle \sim p} lub p {\displaystyle p'} ). Negację można zdefiniować ściślej jako jednoargumentowe działanie (funktor zdaniotwórczy) określone w zbiorze zdań, które każdemu zdaniu p przyporządkowuje zdanie nie p[2][3]. Inne przyjęte sposoby odczytywania zdania ¬ p {\displaystyle \neg \,p\,\!} to nieprawda, że p[4] i nie jest tak, że p[5].

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Niech B {\displaystyle \mathbb {B} } będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych: B = { 0 , 1 } {\displaystyle \mathbb {B} =\{0,1\}} . Negacja ¬ : B B {\displaystyle \neg \,:\mathbb {B} \rightarrow \mathbb {B} } jest funkcją ze zbioru B {\displaystyle \mathbb {B} } w zbiór B {\displaystyle \mathbb {B} } [a], określoną następująco:

¬ p = 1 p {\displaystyle \neg \,p=1-p} [6],

czyli

¬ 0 = 1 {\displaystyle \neg \,0=1} ¬ 1 = 0 {\displaystyle \neg \,1=0} [7].

Negację zdania p uważa się za prawdziwą, gdy zdanie p jest fałszywe, zaś za fałszywą, gdy zdanie p jest prawdziwe[7][3][8].

gdzie:

1 – prawda (lub zdanie prawdziwe) 0 – fałsz (lub zdanie fałszywe).

Notacja | edytuj kod

Zestawienie symboli negacji, używanych przez różnych autorów[9][10]:

Do oznaczenia negacji stosowana jest także angielska partykuła NOT (funkcja boolowska).

Własności | edytuj kod

W klasycznym rachunku zdań poniższe własności są tautologiami (zdaniami zawsze prawdziwymi, bez względu na wartości logiczne zdań składowych).

Prawo podwójnego przeczenia | edytuj kod

Złożenie dwóch negacji daje w wyniku przekształcenie identycznościowe:

¬ ( ¬ p ) p {\displaystyle \neg \,(\neg \,p)\Leftrightarrow p} [11],

gdzie {\displaystyle \Leftrightarrow } jest znakiem równoważności (oznacza: wtedy i tylko wtedy, gdy).

Przykład:

  • Niech zdanie p {\displaystyle p} oznacza: Warszawa jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe).
  • Wówczas ¬ p {\displaystyle \neg \,p} ma postać: Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie fałszywe).
  • Natomiast ¬ ( ¬ p ) {\displaystyle \neg \,(\neg \,p)} można zapisać: Nieprawda, że Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe i równoważne zdaniu p {\displaystyle p} ).

Prawo wyłączonego środka | edytuj kod

Zasada wyłączonego środka mówi, że z dwóch zdań sprzecznych co najmniej jedno jest prawdziwe[12]:

p ¬ p {\displaystyle p\,\lor \,\neg \,p} [11][13],

gdzie {\displaystyle \lor } jest znakiem alternatywy (oznacza spójnik lub).

Przykład:

  • Niech zdanie p {\displaystyle p} ma postać: Jutro będzie padał deszcz.
  • Wówczas ¬ p {\displaystyle \neg \,p} to Jutro nie będzie padał deszcz.
  • Jedno z nich jest prawdziwe (możemy nie wiedzieć które).
  • Ich alternatywa p ¬ p {\displaystyle p\,\lor \,\neg \,p} (Jutro będzie padał deszcz lub jutro nie będzie padał deszcz) jest zawsze prawdziwa.

Zasada niesprzeczności | edytuj kod

Zasada niesprzeczności (zwana także zasadą sprzeczności[12]) głosi, że z dwóch zdań sprzecznych najwyżej jedno jest prawdziwe[14] (lub równoważnie, co najmniej jedno jest fałszywe[13]):

¬ ( p ¬ p ) {\displaystyle \neg (p\,\land \,\neg \,p)} [14][13],

gdzie {\displaystyle \land } jest znakiem koniunkcji (oznacza spójnik 'i').

Przykład:

  • Niech p {\displaystyle p} będzie zdaniem Mam ciastko.
  • Wówczas ¬ p {\displaystyle \neg \,p} ma postać: Nie mam ciastka.
  • Ich koniunkcja p ¬ p {\displaystyle p\,\land \,\neg \,p} to Mam ciastko i nie mam ciastka (jest to zdanie fałszywe).
  • Zaprzeczenie tej koniunkcji ¬ ( p ¬ p ) {\displaystyle \neg (p\,\land \,\neg \,p)} (Nieprawda, że mam ciastko i nie mam ciastka) jest zdaniem prawdziwym.

Zobacz też | edytuj kod


Uwagi | edytuj kod

  1. Jest to jedna ze stosowanych definicji. Częściej jednak przyjmuje się, że negacja jest działaniem w zbiorze zdań lub funkcji zdaniowych (stąd nazwa: funktor zdaniotwórczy).

Przypisy | edytuj kod

  1. Od negare 'przeczyć' (Słownik Wyrazów Obcych)
  2. Mostowski 1948 ↓, s. 7–8.
  3. a b c Rasiowa 1975 ↓, s. 166.
  4. Słupecki, Hałkowska i Piróg-Rzepecka 1999 ↓, s. 13.
  5. Ajdukiewicz 1957 ↓, s. 74.
  6. Ross i Wright 1996 ↓, s. 588.
  7. a b Mostowski 1948 ↓, s. 7.
  8. Grzegorczyk 1975 ↓, s. 67.
  9. Mostowski 1948 ↓, s. 13.
  10. Rasiowa 1975 ↓, s. 170.
  11. a b Mostowski 1948 ↓, s. 26.
  12. a b c Ajdukiewicz 1957 ↓, s. 75.
  13. a b c Rasiowa 1975 ↓, s. 173.
  14. a b Mostowski 1948 ↓, s. 27.

Bibliografia | edytuj kod

  1. Kazimierz Ajdukiewicz: Zarys logiki. Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1957. OCLC 749403627.
  2. Andrzej Grzegorczyk: Zarys logiki matematycznej. Wyd. 4. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1975. OCLC 749328557.
  3. Andrzej Mostowski: Logika matematyczna : kurs uniwersytecki. Warszawa: 1948, seria: Monografie matematyczne t. 18. OCLC 250092935.
  4. Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
  5. Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
  6. Jerzy Słupecki, Katarzyna Hałkowska, Krystyna Piróg-Rzepecka: Logika matematyczna. Wyd. 2. popr. i uzup. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-12958-1.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Negacja" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy