Algebra Banacha


Algebra Banacha w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Algebra Banachaprzestrzeń Banacha z określonym dodatkowym działaniem mnożenia wraz z którym tworzy ona algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych (algebrę rzeczywistą) bądź zespolonych (algebrę zespoloną) i w której norma jest podmultiplikatywna, tj.

a b a b ( a , b A ) . {\displaystyle \|a\cdot b\|\leqslant \|a\|\,\|b\|\quad (a,b\in A).}

Definicja ta ma również sens dla przestrzeni unormowanych, które niekoniecznie są zupełne – w takim przypadku mówi się o algebrach unormowanych. Jeżeli działanie mnożenia jest przemienne, to mówi się odpowiednio o przemiennych algebrach unormowanych i przemiennych algebrach Banacha.

Istnieją zasadnicze różnice w teorii zespolonych i rzeczywistych algebr Banacha wynikające z gorszych własności spektralnych tych drugich, skąd klasyczna teoria algebr Banacha dotyczy głównie zespolonych algebr Banacha. W analizie p {\displaystyle p} -adycznej rozważa się również zdefiniowane podobnie jak wyżej algebry Banacha nad ciałem liczb p {\displaystyle p} -adycznych (bądź innym ciałem z waluacją), jednak zwykle teorii tej nie zalicza się do teorii algebr Banacha. W niniejszym artykule rozważane będą głównie zespolone algebry Banacha.

Nazwa algebra Banacha została wprowadzona w 1945 przez Warrena Ambrose’a[1].

Spis treści

Jedynka w algebrze Banacha | edytuj kod

Definicja algebry Banacha nie wymaga by miała ona jedynkę, tj. element neutralny względem mnożenia. Skrajnym przykładem algebry Banacha bez jedynki jest dowolna przestrzeń Banacha A {\displaystyle A} z trywialnym mnożeniem, tj. a b = 0 ( a , b A ) . {\displaystyle a\cdot b=0(a,b\in A).} Każdą algebrę Banacha A {\displaystyle A} można jednak rozszerzyć o jedynkę do większej algebry Banacha (tj. zbudować jej ujedynkowienie) w taki sposób by A {\displaystyle A} była izometryczna z ideałem o kowymiarze 1 w ujedynkowieniu. Dokładniej, w sumie prostej A C {\displaystyle A\oplus \mathbb {C} } wprowadza się działanie mnożenia wzorem

( a , λ ) ( b , μ ) = ( a b + λ b + μ a , λ μ ) ( a , b A , λ , μ C ) , {\displaystyle (a,\lambda )\cdot (b,\mu )=(ab+\lambda b+\mu a,\lambda \mu )\quad (a,b\in A,\lambda ,\mu \in \mathbb {C} ),}

wraz z którą jest ona algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha z normą

( a , λ ) | = a + | λ | ( a A , λ C ) {\displaystyle \|(a,\lambda )|=\|a\|+|\lambda |\;(a\in A,\lambda \in \mathbb {C} )} [2].

Powyższe konstrukcje mają również sens dla rzeczywistych algebr Banacha; należy jedynie zastąpić wszędzie C {\displaystyle \mathbb {C} } przez R . {\displaystyle \mathbb {R} .}

Ciągłość mnożenia w algebrze Banacha | edytuj kod

W algebrze Banacha operacja mnożenia jest ciągła. Jest to warunek charakteryzujący algebry będące jednocześnie przestrzeniami Banacha co do przenormowania. Dokładniej, jeżeli A {\displaystyle A} jest taką algebrą, która jest przestrzenią Banacha z normą | | {\displaystyle |{\cdot }|} oraz mnożenie w niej jest ciągłe ze względu na każdą ze zmiennych, to istnieje norma równoważna na A {\displaystyle A} wraz z którą A {\displaystyle A} jest algebrą Banacha. Na przykład funkcja

a = sup { | a b | : b A , | b | = 1 } ( a A ) . {\displaystyle \|a\|=\sup\{|ab|\colon b\in A,|b|=1\}\;(a\in A).}

jest normą równoważną normie | | {\displaystyle |{\cdot }|} oraz jest podmultiplikatywna, tj. A {\displaystyle A} wyposażona w tę normę jest algebrą Banacha[3].

Przykłady | edytuj kod

  • Niech X {\displaystyle X} lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz niech C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}(X)} oznacza algebrę funkcji ciągłych o wartościach skalarnych, które znikają w nieskończoności, tj. takich funkcji ciągłych f , {\displaystyle f,} że dla każdego ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} zbiór
{ x X : | f ( x ) | ε } {\displaystyle \{x\in X\colon |f(x)|\geqslant \varepsilon \}} jest zwarty. W przypadku, gdy przestrzeń X {\displaystyle X} jest zwarta, każda funkcja ciągła na X {\displaystyle X} spełnia ten warunek, skąd przyjmuje się oznaczenie C ( X ) . {\displaystyle C(X).} Algebra C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}(X)} z normą supremum: f = sup { | f ( x ) | : x X } ( f C 0 ( X ) ) {\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(x)|\colon x\in X\}\quad (f\in C_{0}(X))} jest przemienną algebrą Banacha, która ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń X {\displaystyle X} jest zwarta (jedynką jest wówczas funkcja stale równa 1). T = sup { T x : x E , x 1 } ( T B ( E ) ) {\displaystyle \|T\|=\sup\{\|Tx\|\colon x\in E,\|x\|\leqslant 1\}\quad (T\in B(E))} jest algebrą Banacha z jedynką (jedynką jest w tym wypadku operator identycznościowy). Algebra ta jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy dim E 1. {\displaystyle \dim E\leqslant 1.}
  • Niech L 1 ( R ) {\displaystyle L_{1}(\mathbb {R} )} oznacza przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a na prostej z mnożeniem określonym przez splot, tj. ( f g ) ( x ) = f ( t ) g ( x t ) d t ( f , g L 1 ( R ) ) . {\displaystyle (f*g)(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)g(x-t)\mathrm {d} t\;(f,g\in L_{1}(\mathbb {R} )).}
Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w takim sensie, iż istnieje ciąg ( e n ) n N {\displaystyle (e_{n})_{n\in \mathbb {N} }} o wyrazach z przestrzeni L 1 ( R ) {\displaystyle L_{1}(\mathbb {R} )} o tej własności, że e n = 1 {\displaystyle \|e_{n}\|=1} dla każdej liczby naturalnej n {\displaystyle n} oraz lim n   e n f f = lim n   f e n f = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }~\|e_{n}*f-f\|=\lim _{n\to \infty }~\|f*e_{n}-f\|=0} dla każdej funkcji f L 1 ( R ) . {\displaystyle f\in L_{1}(\mathbb {R} ).} Ogólniej, dla każdej lokalnie zwartej grupy topologicznej Hausdorffa z określoną na niej miarą Haara μ , {\displaystyle \mu ,} przestrzeń L 1 ( G ) {\displaystyle L_{1}(G)} funkcji μ {\displaystyle \mu } -całkowalnych na G {\displaystyle G} z działaniem mnożenia splotowego określonego niżej jest algebrą Banacha: ( x y ) ( g ) = G x ( h ) y ( h 1 g ) μ ( d h ) , x , y L 1 ( G ) . {\displaystyle (xy)(g)=\int \limits _{G}x(h)y\left(h^{-1}g\right)\mu (\mathrm {d} h),\;x,y\in L^{1}(G).} Algebra L 1 ( G ) {\displaystyle L_{1}(G)} ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy grupa G {\displaystyle G} jest dyskretna.

Otwartość grupy elementów odwracalnych a ciągłość operacji brania elementu odwrotnego | edytuj kod

Niech A {\displaystyle A} będzie (rzeczywistą bądź zespoloną) algebrą Banacha z jedynką 1. Zbiór G L ( A ) {\displaystyle \mathrm {GL} (A)} złożony ze wszystkich elementów odwracalnych w A {\displaystyle A} jest niepusty, gdyż zawiera 1 oraz jest grupą z mnożeniem dziedziczonym z A . {\displaystyle A.} Jeżeli a A {\displaystyle a\in A} oraz

δ := 1 a < 1 , {\displaystyle \delta :=\|1-a\|<1,}

to a G L ( A ) . {\displaystyle a\in \mathrm {GL} (A).} Ponadto

a 1 1 1 1 a {\displaystyle \|a^{-1}\|\leqslant {\frac {1}{1-\|1-a\|}}} [4]. Dowód. Niech M < N {\displaystyle M<N} będą liczbami naturalnymi. Wówczas k = 0 N ( 1 a ) k k = 0 M ( 1 a ) k | = k = M + 1 N ( 1 a ) k k = M + 1 N 1 a k δ M 1 δ . {\displaystyle {\Big \|}\sum _{k=0}^{N}(1-a)^{k}-\sum _{k=0}^{M}(1-a)^{k}{\Big |}={\Big \|}\sum _{k=M+1}^{N}(1-a)^{k}{\Big \|}\leqslant \sum _{k=M+1}^{N}\|1-a\|^{k}\leqslant {\frac {\delta ^{M}}{1-\delta }}.} Ponieważ prawa strona powyższej nierówności jest zbieżna do 0, ciąg sum częściowych ciągu ( 1 a ) k {\displaystyle (1-a)^{k}} jest ciągiem Cauchy’ego, a więc jest on zbieżny do pewnego elementu b A {\displaystyle b\in A} (z zupełności A {\displaystyle A} ), tj. b = k = 0 ( 1 a ) k . {\displaystyle b=\sum _{k=0}^{\infty }(1-a)^{k}.} Ponadto a b = ( 1 ( 1 a ) ) k = 0 ( 1 a ) k = l i m n ( 1 ( 1 a ) ) k = 0 n ( 1 a ) k = lim n ( 1 ( 1 a ) n + 1 ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}ab&=(1-(1-a))\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }(1-a)^{k}\\&=lim_{n\to \infty }(1-(1-a))\textstyle \sum _{k=0}^{n}(1-a)^{k}\\&=\lim _{n\to \infty }(1-(1-a)^{n+1})\\&=1\end{aligned}}} oraz b a = k = 0 ( 1 a ) k ( 1 ( 1 a ) ) = lim n k = 0 n ( 1 a ) k ( 1 ( 1 a ) ) = lim n ( 1 ( 1 a ) n + 1 ) = 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}ba&=\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }(1-a)^{k}(1-(1-a))\\&=\lim _{n\to \infty }\textstyle \sum _{k=0}^{n}(1-a)^{k}(1-(1-a))\\&=\lim _{n\to \infty }(1-(1-a)^{n+1})\\&=1,\end{aligned}}} ponieważ δ < 1. {\displaystyle \delta <1.} Pokazuje to, że b = a 1. {\displaystyle b=a^{-}1.} Co więcej, b = lim n k = 0 n ( 1 a ) k k = 0 n ( 1 a ) k = 1 1 1 a . {\displaystyle \|b\|=\lim _{n\to \infty }{\Big \|}\sum _{k=0}^{n}(1-a)^{k}{\Big \|}\leqslant \sum _{k=0}^{n}{\big \|}(1-a){\big \|}^{k}={\frac {1}{1-\|1-a\|}}.}

Z powyższego wynika, że grupa G L ( A ) {\displaystyle \mathrm {GL} (A)} jest otwarta (w topologii pochodzącej od normy A {\displaystyle A} )[5].

Dowód. Niech u A {\displaystyle u\in A} będzie elementem odwracalnym oraz niech a A {\displaystyle a\in A} będzie dowolne. Wówczas a = u ( 1 ( 1 u 1 a ) ) . {\displaystyle a=u(1-(1-u^{-1}a)).} W przypadku gdy a u < u 1 1 , {\displaystyle \|a-u\|<\|u^{-1}\|^{-1},} element a {\displaystyle a} jest również odwracalny ponieważ 1 u 1 a u 1 a u < 1 , {\displaystyle \|1-u^{-1}a\|\leqslant \|u^{-1}\|\,\|a-u\|<1,} więc element u 1 a {\displaystyle u^{-1}a} (a więc i samo a {\displaystyle a} ) jest odwracalny.

Ostatecznie, funkcja

a a 1 ( a G L ( A ) ) {\displaystyle a\mapsto a^{-1}\quad (a\in \mathrm {GL} (A))}

jest ciągła, tj. G L ( A ) {\displaystyle \mathrm {GL} (A)} jest grupą topologiczną[6].

Dowód. Niech a , b G L ( A ) . {\displaystyle a,b\in \mathrm {GL} (A).} Jeżeli a b < ( 2 a 1 ) 1 , {\displaystyle \|a-b\|<(2\|a^{-1}\|)^{-1},} to 1 a 1 b < 2 1 . {\displaystyle \|1-a^{-1}b\|<2^{-1}.} Stąd b 1 b 1 a a = ( a 1 b ) 1 a 2 a 1 . {\displaystyle \|b^{-1}\|\leqslant \|b^{-1}a\|\|a\|=\|(a^{-1}b)^{-1}\|\|a\|\leqslant 2\|a^{-1}\|.} Ostatecznie a 1 b 1 a 1 ( a b ) b 1 2 a 1 2   a b , {\displaystyle \|a^{-1}-b^{-1}\|\leqslant \|a^{-1}(a-b)b^{-1}\|\leqslant 2\|a^{-1}\|^{2}\ \|a-b\|,} co dowodzi ciągłości operacji brania elementu odwrotnego.

Ideały i ilorazowe algebry Banacha | edytuj kod

Niech A {\displaystyle A} będzie algebrą Banacha oraz niech I {\displaystyle I} będzie domkniętym ideałem dwustronnym. W szczególności, I {\displaystyle I} jest domkniętą podprzestrzenią liniową, więc przestrzeń ilorazowa A / I {\displaystyle A/I} jest przestrzenią Banacha. Ponieważ I {\displaystyle I} jest ideałem dwustronnym, A / I {\displaystyle A/I} jest również algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha, tj. norma ilorazowa jest podmultiplikatywna.

Dowód. Niech a , b A . {\displaystyle a,b\in A.} Wówczas a b + I = inf c a b + I c = inf c 1 a + I , c 2 b + I c 1 c 2 inf c 1 a + I , c 2 b + I c 1 c 2 inf c 1 a + I c 1 inf c 2 b + I c 2 = a + I b + I . {\displaystyle {\begin{aligned}\|ab+I\|&=\textstyle \inf _{c\in ab+I}\|c\|\\&=\textstyle \inf _{c_{1}\in a+I,c_{2}\in b+I}\|c_{1}c_{2}\|\\&\leqslant \textstyle \inf _{c_{1}\in a+I,c_{2}\in b+I}\|c_{1}\|\cdot \|c_{2}\|\\&\leqslant \textstyle \inf _{c_{1}\in a+I}\|c_{1}\|\cdot \inf _{c_{2}\in b+I}\|c_{2}\|\\&=\|a+I\|\cdot \|b+I\|.\end{aligned}}} Powyższa nierówność kończy dowód, ponieważ każdy element A / I {\displaystyle A/I} jest postaci a + I {\displaystyle a+I} dla pewnego a A {\displaystyle a\in A} [7].

Z ciągłości działań w algebrze Banacha wynika, że jeżeli I {\displaystyle I} jest dowolnym ideałem w A , {\displaystyle A,} to jego domknięcie też jest ideałem w A . {\displaystyle A.}

Przykłady | edytuj kod

  • Niech X {\displaystyle X} będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Wówczas każdy domknięty ideał I {\displaystyle I} w C ( X ) {\displaystyle C(X)} jest postaci
I = { f C ( X ) : f | K = 0 } {\displaystyle I=\{f\in C(X)\colon f|_{K}=0\}} dla pewnego zwartego podzbioru K X . {\displaystyle K\subseteq X.} Algebra ilorazowa C ( X ) / I {\displaystyle C(X)/I} jest wówczas izometrycznie izomorficzna jako algebra Banacha z C 0 ( X K ) {\displaystyle C_{0}(X\setminus K)} [8][9].
  • Dla każdej przestrzeni Banacha E , {\displaystyle E,} zbiór K ( E ) {\displaystyle K(E)} złożony ze wszystkich operatorów zwartych na E {\displaystyle E} jest domkniętym ideałem w B ( E ) . {\displaystyle B(E).} Algebra ilorazowa B ( E ) / K ( E ) {\displaystyle B(E)/K(E)} bywa nazywana algebrą Calkina przestrzeni E {\displaystyle E} (czasami nazwa ta jest rezerwowana dla przypadku, gdy E {\displaystyle E} jest ośrodkową przestrzenią Hilberta[10]).

Przemienne algebry Banacha | edytuj kod

Podstawowym przykładem przemiennej algebry Banacha jest algebra C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}(X)} funkcji ciągłych o własnościach skalarnych na lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa X , {\displaystyle X,} które znikają w nieskończoności. Jeżeli A {\displaystyle A} jest przemienną algebrą Banacha, to rodzina jej maksymalnych ideałów modularnych Δ A {\displaystyle \Delta _{A}} z topologią Gelfanda jest (możliwie pustą) przestrzenią lokalnie zwartą Hausdorffa. Transformata Gelfanda

Φ : A C 0 ( Δ A ) {\displaystyle \Phi \colon A\to C_{0}(\Delta _{A})}

jest ciągłym homomorfizmem, który jest różnowartościowy i ma gęsty obraz w przypadku, gdy A {\displaystyle A} jest pół-prosta w sensie Jacobsona, tj. gdy niezerowe funkcjonały liniowo-multiplikatywne oddzielają punkty w A . {\displaystyle A.}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. W. Ambrose, Structure theorems for a special class of Banach algebras, „Trans. Amer. Math. Soc.57 (1945), s. 364–386.
  2. Kaniuth 2009 ↓, s. 6.
  3. Kaniuth 2009 ↓, s. 2.
  4. Douglas 1998 ↓, s. 34.
  5. Douglas 1998 ↓, s. 35.
  6. Douglas 1998 ↓, s. 36.
  7. Douglas 1998 ↓, s. 39–40.
  8. Douglas 1998 ↓, s. 54.
  9. Kadison i Ringrose 1983 ↓, s. 210–211.
  10. Douglas 1998 ↓, s. 113.

Bibliografia | edytuj kod

  • William Arveson: A Short Course on Spectral Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001.
  • Ronald G. Douglas: Banach Algebra Techniques in Operator Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1998.
  • Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2009, seria: Grad. Texts in Math., vol. 246.
  • Richard V. Kadison, John. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Elementary Theory. Nowy Jork: Academic Press, 1983.
Na podstawie artykułu: "Algebra Banacha" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy