Algebra Boole’a

Algebra Boole’a w encyklopedii

Algebra Boole’a – pewien typ struktury algebraicznej, rodzaj algebry ogólnej stosowany w matematyce, informatyce teoretycznej oraz elektronice cyfrowej. Jej nazwa pochodzi od nazwiska matematyka, filozofa i logika George’a Boole’a. Teoria algebr Boole’a jest działem matematyki na pograniczu teorii częściowego porządku, algebry, logiki matematycznej i topologii.

Typowymi przykładami algebr Boole’a są: rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru wraz z działaniami na zbiorach jako operacjami algebry oraz dwuelementowa algebra wartości logicznych {0, 1} z działaniami koniunkcji, alternatywy i negacji.

Spis treści

• 1 Definicja
  • 1.1 Oznaczenia
  • 1.2 Minimalna aksjomatyzacja
• 2 Przykłady
• 3 Własności
  • 3.1 Uporządkowanie
  • 3.2 Ideały, algebry ilorazowe i homomorfizmy
  • 3.3 Autodualność
  • 3.4 Algebry wolne
  • 3.5 Zupełne algebry Boole’a
    • 3.5.1 Działania nieskończone
    • 3.5.2 Zupełność
  • 3.6 Zbiory niezależne
  • 3.7 Funkcje kardynalne
• 4 Reprezentacja
• 5 Historia
• 6 Pierścienie Boole’a
• 7 Dalsze struktury związane z algebrami Boole’a
• 8 Zobacz też
• 9 Bibliografia
• 10 Linki zewnętrzne

Definicja | edytuj kod

Algebra Boole’a – struktura algebraiczna ${\displaystyle \mathbb {B} :=(B,\cup ,\cap ,\sim ,0,1),}$ w której ${\displaystyle \cup }$ i ${\displaystyle \cap }$ są działaniami dwuargumentowymi, ${\displaystyle \sim }$ jest operacją jednoargumentową, a 0 i 1 są wyróżnionymi różnymi elementami zbioru ${\displaystyle B,}$ spełniająca następujące warunki dla wszystkich ${\displaystyle a,b,c\in B{:}}$

Oznaczenia | edytuj kod

Istnieją co najmniej trzy różne, szeroko rozpowszechnione tradycje oznaczeń w teorii algebr Boole’a. W definicji sformułowanej powyżej użyto symboli ${\displaystyle \cup ,\cap ,\sim ,}$ ale w częstym użyciu są również ${\displaystyle +,\cdot ,-}$ oraz ${\displaystyle \lor ,\land ,\lnot .}$ Symbole oznaczające operacje dwuczłonowe algebry Boole’a są prawie zawsze wprowadzane przez wybór jednej z par ${\displaystyle (+,\cdot ),}$ ${\displaystyle (\lor ,\land )}$ albo ${\displaystyle (\cup ,\cap ).}$ W oznaczeniach operacji jednoargumentowej algebry istnieje mniejsza konsekwencja i można się spotkać zarówno z symbolami ${\displaystyle +,\cdot ,\sim ,}$ jak i ${\displaystyle \lor ,\land ,{}'.}$

System oznaczeń przedstawiony powyżej (i dalej przyjmowany w tym artykule) jest używany, między innymi, w podręczniku Heleny Rasiowej.

W badaniach teoriomnogościowych aspektów algebr Boole’a przeważa tradycja używania oznaczeń ${\displaystyle (+,\cdot ,-)}$^{[potrzebny przypis]}. Ten sam system został też wybrany za wiodący przez redaktorów monografii Handbook of Boolean Algebras.

Z kolei symbole ${\displaystyle \wedge ,\vee }$ zgodne z oznaczeniami w teorii krat są częściej używane w kontekstach algebraicznych (i teoriokratowych)^{[potrzebny przypis]}.

Spotykane są też inne kombinacje tychże symboli lub wręcz inne symbole (na przykład & w miejsce ${\displaystyle \cap ,}$ lub ${\displaystyle a'}$ zamiast ${\displaystyle \sim a}$). W elektronice i informatyce często stosuje się OR, AND oraz NOT w miejsce ${\displaystyle \cup ,}$ ${\displaystyle \cap }$ oraz ${\displaystyle \sim .}$ W języku C oraz w językach nim inspirowanych używa się odpowiednio symboli: |, &, !.

Minimalna aksjomatyzacja | edytuj kod

Powyższa (tradycyjna) definicja algebry Boole’a nie jest minimalna, np. nie jest konieczne wprowadzanie w niej symboli 0 i 1. Mogą one być konsekwencją aksjomatyki, a nie niezbędną dla niej definicją. 0 można zastąpić przez ${\displaystyle \sim (x\cup (\sim x))}$ a 1 przez ${\displaystyle (x\cup (\sim x)).}$ Dzięki prawom de Morgana można też z aksjomatyki wyeliminować działanie ${\displaystyle \cap }$ lub ${\displaystyle \cup .}$ (W istocie wszystkie działania można tak naprawdę zastąpić jednym – dysjunkcją (NAND) lub binegacją (NOR).)

Istnieją równoważne, ale oszczędniejsze definicje algebry Boole’a. Przykładowy układ niezależnych aksjomatów to:

• ${\displaystyle \cup }$ jest przemienne
• ${\displaystyle \cup }$ jest łączne
• aksjomat Huntingtona: ${\displaystyle \sim (\sim x\cup y)\;\cup \sim (\sim x\;\cup \sim y)=x.}$

Inny taki układ to:

• ${\displaystyle \cup }$ jest przemienne
• ${\displaystyle \cup }$ jest łączne
• aksjomat Robbinsa: ${\displaystyle \sim (\sim (x\cup y)\;\cup \sim (x\;\cup \sim y))=x}$

Istnieją też systemy z jednym aksjomatem.

Przykłady | edytuj kod

Najprostsza algebra Boole’a ma tylko dwa elementy, 0 i 1, a operacje tej algebry są zdefiniowane przez następujące tabele działań:

Algebra ta stanowi podstawę elektroniki cyfrowej.

Jeśli ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ jest ciałem podzbiorów zbioru ${\displaystyle X,}$ to ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\cup ,\cap ,{}',\varnothing ,X)}$ jest algebrą Boole’a (gdzie ${\displaystyle {}'}$ oznacza operację dopełnienia).

Niech ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ będzie zbiorem zdań w rachunku zdań. Niech ${\displaystyle \equiv }$ będzie relacją dwuargumentową na zbiorze ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ określoną jako:

Można sprawdzić, że ${\displaystyle \equiv }$ jest relacją równoważności na zbiorze ${\displaystyle {\mathcal {Z}}.}$ Na zbiorze ${\displaystyle X}$ wszystkich klas abstrakcji ${\displaystyle [\varphi ]}$ relacji ${\displaystyle \equiv }$ można wprowadzić operacje ${\displaystyle \cup ,\cap ,\sim }$ przez następujące formuły:

W ten sposób otrzymuje się poprawnie zdefiniowane operacje na zbiorze ${\displaystyle X}$ (tzn. wynik nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji), a ${\displaystyle (X,\cup ,\cap ,\sim ,[p\wedge \neg p],[p\vee \neg p])}$ jest algebrą Boole’a. Algebra ta jest nazywana algebrą Lindenbauma-Tarskiego.

Algebry Lindenbauma-Tarskiego rozważa się również dla języków pierwszego rzędu. Niech ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ będzie zbiorem zdań w ustalonym alfabecie ${\displaystyle \tau }$ i niech ${\displaystyle T\subseteq \mathbf {Z} }$ będzie niesprzeczną teorią w tym samym języku. Relację dwuargumentową ${\displaystyle \equiv }$ na zbiorze ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ można wprowadzić przez określenie

Wówczas ${\displaystyle \equiv }$ jest relacją równoważności na zbiorze ${\displaystyle \mathbf {Z} .}$ Podobnie jak wcześniej:

Można pokazać, że ${\displaystyle (\mathbf {Z} /\equiv ,\cup ,\cap ,\sim ,[\psi \wedge \neg \psi ]_{\equiv },[\psi \vee \neg \psi ]_{\equiv })}$ jest algebrą Boole’a.

Własności | edytuj kod

Niech ${\displaystyle \mathbb {B} =(B,\cup ,\cap ,\sim ,0,1)}$ będzie algebrą Boole’a. Dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in B}$ zachodzi:

prawa De Morgana:

podwójne przeczenie:

Uporządkowanie | edytuj kod

W zbiorze ${\displaystyle B}$ wprowadza się porządek boole’owski ${\displaystyle \leqslant {:}}$

Tak zdefiniowana relacja ${\displaystyle \leqslant }$ jest częściowym porządkiem na zbiorze ${\displaystyle B.}$ Zbiór ${\displaystyle B}$ z relacją ≤ jest kratą rozdzielną.

Ideały, algebry ilorazowe i homomorfizmy | edytuj kod

Niepusty zbiór ${\displaystyle I\subseteq B}$ jest ideałem w algebrze ${\displaystyle \mathbb {B} }$, jeśli są spełnione następujące dwa warunki:

Każdy ideał zawiera element ${\displaystyle 0.}$ Ideał, który nie zawiera elementu ${\displaystyle 1,}$ nazywany jest ideałem właściwym. Jedynym niewłaściwym ideałem jest całe ${\displaystyle B.}$

Pojęciem dualnym jest pojęcie filtru: niepusty zbiór ${\displaystyle F\subseteq B}$ jest filtrem w algebrze ${\displaystyle \mathbb {B} ,}$ jeśli:

oraz

Każdy filtr zawiera element ${\displaystyle 1.}$ Filtr, który nie zawiera elementu ${\displaystyle 0,}$ nazywany jest filtrem właściwym. Jedynym niewłaściwym filtrem jest całe ${\displaystyle B.}$

Niech ${\displaystyle I\subseteq B}$ będzie właściwym ideałem w algebrze ${\displaystyle \mathbb {B} .}$ Niech ${\displaystyle \approx _{I}}$ będzie relacją dwuczłonową na ${\displaystyle B}$ taką, że

Wówczas ${\displaystyle \approx _{I}}$ jest relacją równoważności na ${\displaystyle B.}$ W zbiorze ${\displaystyle B/\approx _{I}}$ klas abstrakcji tej relacji można zdefiniować działania ${\displaystyle \vee ,\wedge ,\neg {:}}$

Pokazuje się, że powyższe definicje są poprawne (tzn. wynik operacji nie zależy od wyboru reprezentantów z klas abstrakcji) oraz że ${\displaystyle (B/_{\approx _{I}},\vee ,\wedge ,\neg ,[0],[1])}$ jest algebrą Boole’a. Algebra ta jest nazywana algebrą ilorazową i jest oznaczana przez ${\displaystyle \mathbb {B} /I.}$

Niech ${\displaystyle \mathbb {B} ^{*}:=(B^{*},\cup ^{*}0,\cap ^{*},\sim ^{*},0^{*},1^{*})}$ będzie algebrą Boole’a i niech ${\displaystyle h\colon B\to B^{*}}$ będzie funkcją odwzorowującą ${\displaystyle B}$ w ${\displaystyle B^{*}.}$ Mówimy, że funkcja ${\displaystyle h}$ jest homomorfizmem algebr Boole’a, jeśli zachowuje ona działania w algebrze, tzn. dla wszystkich ${\displaystyle a,b\in B}$ zachodzą trzy równości:

Jeśli dodatkowo ${\displaystyle h}$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną z ${\displaystyle B}$ na ${\displaystyle B^{*},}$ to funkcja ${\displaystyle h}$ zwana jest izomorfizmem algebr Boole’a.

Jeśli ${\displaystyle I}$ jest ideałem w algebrze ${\displaystyle \mathbb {B} ,}$ to odwzorowanie ${\displaystyle a\mapsto [a]_{\approx _{I}}\colon \mathbb {B} \to \mathbb {B} /I}$ jest homomorfizmem.

Jeśli ${\displaystyle \mathbb {B} ^{*}:=(B^{*},\cup ^{*},\cap ^{*},\sim ^{*},0^{*},1^{*})}$ jest algebrą Boole’a oraz ${\displaystyle h\colon B\to B^{*}}$ jest homomorfizmem na ${\displaystyle B^{*},}$ to ${\displaystyle h^{-1}(0^{*})}$ jest ideałem w algebrze ${\displaystyle \mathbb {B} }$ a algebra ilorazowa ${\displaystyle \mathbb {B} /h^{-1}(0^{*})}$ jest izomorficzna z ${\displaystyle \mathbb {B} ^{*}.}$

Autodualność | edytuj kod

Niech ${\displaystyle \mathbb {C} =(B,\cap ,\cup ,\sim ,1,0)}$ (operacje ${\displaystyle \cup }$ i ${\displaystyle \cap }$ zostały zamienione rolami, podobnie jak stałe 0 i 1). Wtedy także ${\displaystyle \mathbb {C} }$ jest algebrą Boole’a izomorficzną z wyjściową algebrą ${\displaystyle \mathbb {B} .}$ Kanoniczny izomorfizm d tych dwóch algebr jest swoją własną odwrotnością (jest inwolucją zbioru B) i jest dany wzorem:

dla dowolnego ${\displaystyle x\in B.}$

Algebry wolne | edytuj kod

Algebra Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} }$ jest wolna, jeśli pewien zbiór ${\displaystyle X\subseteq B}$ ma następującą własność:

Zbiór ${\displaystyle X\subseteq B}$ o własności opisanej powyżej jest nazywany zbiorem wolnych generatorów algebry ${\displaystyle \mathbb {B} .}$ Jeśli moc zbioru ${\displaystyle X}$ jest ${\displaystyle \kappa ,}$ to mówimy, że ${\displaystyle \mathbb {B} }$ jest wolną algebrą Boole’a z ${\displaystyle \kappa }$ generatorami.

Skończona algebra Boole’a jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ elementów (dla ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$). Algebra mocy ${\displaystyle 2^{2^{n}}}$ jest izomorficzna z ciałem wszystkich podzbiorów zbioru z ${\displaystyle 2^{n}}$ elementami i jako taka ma ${\displaystyle n}$ wolnych generatorów.

Nieskończona przeliczalna algebra Boole’a jest wolna wtedy i tylko wtedy, gdy jest bezatomowa, tzn. każdy niezerowy element algebry zawiera przynajmniej dwa różne niezerowe elementy algebry. W zapisie formalnym:

Zupełne algebry Boole’a | edytuj kod

Działania nieskończone | edytuj kod

Ponieważ w algebrze Boole’a istnieje porządek częściowy, to dla zbioru ${\displaystyle A\subseteq B}$ można rozpatrywać jego kresy (które istnieją lub nie).

Jeśli dwuczłonowe operacje algebry Boole’a są oznaczane przez ${\displaystyle \cap ,\cup }$ (tak jak w tym artykule), to kres górny zbioru ${\displaystyle A}$ (gdy istnieje) jest oznaczany przez ${\displaystyle \bigcup A,}$ a jego kres dolny (gdy istnieje) jest oznaczany przez ${\displaystyle \bigcap A.}$ Jeśli natomiast symbolami dla tych operacji są ${\displaystyle +,\cdot ,}$ to kresy oznaczane są przez ${\displaystyle \sum A,}$ ${\displaystyle \prod A.}$

Dla zbioru pustego:

Zakładając istnienie odpowiednich kresów, zachodzą wzory de Morgana:

Ponadto jeśli ${\displaystyle \varnothing \neq A\subseteq B,}$ to:

• ${\displaystyle b=\bigcup A}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

• ${\displaystyle b=\bigcap A}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

Zupełność | edytuj kod

Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} {:}}$

• każdy podzbiór ${\displaystyle \mathbb {B} }$ ma kres górny;
• każdy podzbiór ${\displaystyle \mathbb {B} }$ ma kres dolny.

Algebry, w których każdy zbiór ma kres górny (tzn. takie dla których porządek boole’owski ${\displaystyle \leqslant }$ jest zupełny), są nazywane zupełnymi algebrami Boole’a. Zupełne algebry Boole’a są szczególnie ważne w teorii forsingu; są one też przykładami krat zupełnych.

Niech ${\displaystyle \kappa }$ będzie liczbą kardynalną, a ${\displaystyle \mathbb {B} }$ będzie algebrą Boole’a. Powiemy, że algebra ${\displaystyle \mathbb {B} }$ jest ${\displaystyle \kappa }$-zupełna, jeśli każdy zbiór ${\displaystyle A\subseteq B}$ mocy mniejszej niż ${\displaystyle \kappa }$ ma kres górny (tzn. ${\displaystyle \bigcup A}$ istnieje ilekroć ${\displaystyle 0<|A|<\kappa }$). Równoważnie: algebra ${\displaystyle \mathbb {B} }$ jest ${\displaystyle \kappa }$-zupełna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór ${\displaystyle A\subseteq B,}$ o mocy mniejszej niż ${\displaystyle \kappa ,}$ ma kres dolny (tzn. ${\displaystyle \bigcap A}$). Algebry ${\displaystyle \aleph _{1}}$-zupełne są też nazywane algebrami ${\displaystyle \sigma }$-zupełnymi.

Jeśli ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ jest ${\displaystyle \sigma }$-ciałem borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej (a więc jest to ${\displaystyle \sigma }$-zupełna algebra Boole’a) oraz ${\displaystyle {\mathcal {K}},}$ jest rodziną wszystkich zbiorów ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}},}$ które są pierwszej kategorii, to ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ jest ideałem w algebrze ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ i algebra ilorazowa ${\displaystyle {\mathcal {B}}/{\mathcal {K}}}$ jest zupełna. Podobnie dla rodziny ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ wszystkich borelowskich zbiorów miary zero.

Zbiory niezależne | edytuj kod

Podzbiór ${\displaystyle X}$ algebry Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} }$ nazywany jest niezależnym, gdy dla dowolnych zbiorów skończonych ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{n}\},\{y_{1},\dots ,y_{m}\}\subseteq X}$

Do klasycznych twierdzeń dotyczących zbiorów niezależnych w algebrach Boole’a należą:

• twierdzenie Balcara-Franka.
• twierdzenie Fichtenholza-Kantorowicza

Funkcje kardynalne | edytuj kod

W badaniach i opisach algebr Boole’a często używa się funkcji kardynalnych. Przykładami takich funkcji kardynalnych są następujące funkcje.

• Celularność ${\displaystyle c(\mathbb {B} )}$ algebry Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} }$ jest to supremum mocy antyłańcuchów w ${\displaystyle \mathbb {B} .}$
• Długość ${\displaystyle \mathrm {length} (\mathbb {B} )}$ algebry Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} }$ to

• Głębokość ${\displaystyle \mathrm {depth} (\mathbb {B} )}$ algebry Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} }$ to

• Nieporównywalność ${\displaystyle \mathrm {Inc} (\mathbb {B} )}$ algebry Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} }$ to

• Pseudo-ciężar ${\displaystyle \pi (\mathbb {B} )}$ algebry Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} }$ to

Reprezentacja | edytuj kod

Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole’a). Dokładniej mówiąc, algebra Boole’a ${\displaystyle \mathbb {B} }$ jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni ultrafiltrów na ${\displaystyle \mathbb {B} ,}$ tzw. przestrzeni Stone’a algebry ${\displaystyle \mathbb {B} .}$ Twierdzenie Stone’a nie może być udowodnione przy użyciu tylko aksjomatyki Zermela-Fraenkla – wymaga ono założenia pewnej formy aksjomatu wyboru (rozszerzalności ideałów w algebrach Boole’a do ideałów pierwszych).

Każda skończona algebra Boole’a jest izomorficzna z całym zbiorem potęgowym ${\displaystyle (P(X),\cup ,\cap ,{}',\varnothing ,X)}$ dla pewnego ${\displaystyle X.}$

Historia | edytuj kod

Nazwa „algebra Boole’a” pochodzi od nazwiska George’a Boole’a (1815–1864), angielskiego matematyka samouka. Wprowadził on algebraiczne ujęcie logiki matematycznej w niewielkiej pracy The Mathematical Analysis of Logic (Matematyczna analiza logiki), opublikowanej w 1847 roku. W późniejszej książce The Laws of Thought (Prawa myśli), opublikowanej w 1854, Boole formułuje problem w bardziej dojrzały sposób, zauważając dualność operacji ∪ i ∩. Dalszy rozwój algebra Boole’a zawdzięcza Williamowi Jevonsowi i Charlesowi Peirce’owi, których prace opublikowane zostały w latach sześćdziesiątych XIX wieku. W 1890 w Vorlesungen (Wykłady) Ernsta Schrödera pojawia się pierwszy systematyczny wykład algebry Boole’a i krat rozdzielnych. Dokładniejsze badania algebr Boole’a podjął Alfred North Whitehead w wydanym w 1898 roku dziele Universal Algebra (Algebra ogólna). Algebra Boole’a jako aksjomatyczna struktura algebraiczna pojawiła się w 1904 roku w pracach Huntingtona. Garrett Birkhoff w Lattice Theory (1940) rozwinął teorię krat. W latach sześćdziesiątych Paul Cohen, Dana Scott i inni osiągnęli głębokie rezultaty w dziedzinie logiki matematycznej i aksjomatycznej teorii zbiorów, korzystając z metody forsingu osadzonej w teorii algebr Boole’a.

Pierścienie Boole’a | edytuj kod

Z pojęciem algebry Boole’a związane jest pojęcie pierścienia Boole’a. Pierścień Boole’a to pierścień przemienny z jedynką ${\displaystyle (P,\oplus ,\odot ,0,1),}$ w którym mnożenie spełnia warunek

W pierścieniu Boole’a każdy element jest rzędu 2, to znaczy spełnia równość: ${\displaystyle a\oplus a=0}$ Dowód:

więc ${\displaystyle a\oplus a=0.}$

Wynika stąd, że:

Niech ${\displaystyle \mathbb {B} =(B,\cup ,\cap ,\sim ,0,1)}$ będzie algebrą Boole’a. Jeżeli w zbiorze ${\displaystyle B}$ określi się operację alternatywy wykluczającej (różnicy symetrycznej) ${\displaystyle \oplus }$ przez

to ${\displaystyle (B,\oplus ,\cap ,0,1)}$ będzie pierścieniem Boole’a; za mnożenie ${\displaystyle \odot }$ przyjmuje się ${\displaystyle \cap .}$

I na odwrot – niech ${\displaystyle (B,\oplus ,\odot ,0,1)}$ będzie pierścieniem Boole’a. Jeżeli zdefiniuje się operacje ${\displaystyle \cup ,\cap }$ i ${\displaystyle \sim }$ na ${\displaystyle B}$ przez

to ${\displaystyle \mathbb {B} :=(B,\cup ,\cap ,\sim ,0,1)}$ będzie algebrą Boole’a spełniającą

Dalsze struktury związane z algebrami Boole’a | edytuj kod

Uogólnieniem algebr Boole’a są algebry pseudoboolowskie, zwane też algebrami Heytinga, w których z aksjomatów usunięte jest prawo wyłączonego środka ${\displaystyle a\;\cup \sim a=1.}$

Rozpatrywane są też algebry Boole’a z dodatkowymi strukturami. Należą do nich:

• monadyczne algebry Boole’a z dodatkowym działaniem jednoargumentowym ${\displaystyle \exists ,}$
• topologiczne algebry Boole’a z dodatkowym operatorem wnętrza.

Zobacz też | edytuj kod

• funkcja boolowska

Bibliografia | edytuj kod

• Zofia Adamowicz, Paweł Zbierski: Logic of mathematics. A modern course of classical logic. Nowy Jork: A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., 1997, seria: Pure and Applied Mathematics. ISBN 0-471-06026-7.
• Garrett Birkhoff, Thomas C. Bartee: Współczesna algebra stosowana. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1983, seria: Matematyka dla Politechnik. ISBN 83-01-04560-4.
• Thomas Jech: Set theory. Berlin: Springer-Verlag, 1997. ISBN 3-540-63048-1.
• Winfried Just, Martin Weese: Discovering modern set theory. T. 2: Set-theoretic tools for every mathematician. Providence, RI: American Mathematical Society, 1997, seria: Graduate Studies in Mathematics, 18. ISBN 0-8218-0528-2.
• Sabine Koppelberg: Handbook of Boolean algebras. J. Donald Monk i Robert Bonnet (red.). T. 1,2,3. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1989. ISBN 0-444-70261-X.
• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości: wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości. Wyd. 3. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN), 1978, seria: Monografie Matematyczne 27.
• J. Donald Monk: Cardinal invariants on Boolean algebras. Basel: Birkhäuser Verlag, 1996, seria: Progress in Mathematics, 142. ISBN 3-7643-5402-X.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, seria: Biblioteka Matematyczna t. 30.
• Roman Sikorski: Boolean Algebras (wydanie 3). Springer Verlag; Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Neue Folge. Band 25, 1969 (wyd. 1 – 1960).
• Helena Rasiowa, Roman Sikorski: The mathematics of metamathematics. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN), 1963, seria: Monografie Matematyczne 41.

Linki zewnętrzne | edytuj kod

• J. DonaldJ.D. Monk J. DonaldJ.D., The Mathematics of Boolean Algebra, [w:] Stanford Encyclopedia of Philosophy [online], CSLI, Stanford University, 11 lipca 2018, ISSN 1095-5054 [dostęp 2018-08-03]  (ang.). (Matematyka algebry Boole’a)

• LCCN: sh85003429
• GND: 4146280-4
• NDL: 00560863
• BNCF: 17741

Na podstawie artykułu: "Algebra Boole’a" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy