Aproksymacja diofantyczna


Aproksymacja diofantyczna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Aproksymacja diofantyczna – dziedzina teorii liczb badająca możliwości przybliżania liczb rzeczywistych liczbami wymiernymi i stopień dokładności takiego przybliżenia. Nazwa pochodzi od imienia Diofantosa z Aleksandrii.

Zgrubnym miernikiem dokładności przybliżenia jest wartość bezwzględna różnicy między daną liczbą rzeczywistą a jej przybliżeniem, subtelniejsze rozważania uwzględniają również wielkość mianownika odpowiedniego ułamka.

Można przyjąć, że pierwsze systematyczne badania w tej dziedzinie mają początek w pracach Liouvilla dotyczących istnienia liczb przestępnych (tzw. liczb Liouville’a). Wcześniej wiedziano sporo na temat przybliżania liczb niewymiernych ułamkami łańcuchowymi, znane było też twierdzenie Dirichleta o aproksymacji, jednak dopiero od Liouville’a zagadnieniom tym poświęcono systematyczną uwagę.

Wyniki Liouville’a, które były efektywne, poprawił Axel Thue i jego następcy, ale stracili oni efektywność: udowodnione w roku 1955 twierdzenie Thuego-Siegela-Rotha mówi, że jeśli liczba α {\displaystyle \alpha } jest algebraiczna, to dla dowolnego ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} nierówność:

| α p q | < q ( 2 + ϵ ) {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<q^{-(2+\epsilon )}}

ma tylko skończenie wiele rozwiązań w liczbach p {\displaystyle p} i q {\displaystyle q} względnie pierwszych i wykładnika po prawej stronie nie da się już zmniejszyć.

Twierdzenie Thuego-Siegela-Rotha zostało uogólnione na przypadek jednoczesnej aproksymacji skończonego zbioru liczb, przez Wolfanga M. Schmidta, wciąż nieefektywnie, co czyni ten wynik, i jego nieefektywnych poprzedników, mało przydatnymi do obliczeń.

Druga grupa zagadnień badanych w teorii aproksymacji to problematyka równomiernego rozkładu. Podstawowym wynikiem w tym kierunku jest kryterium Weyla, które z kolei pokazuje związek aproksymacji diofantycznej z analityczną teorią liczb. Inne problemy, jakie mogą się tu pojawiać, wiążą się z nieregularnościami rozkładu.

Jak w innych działach teorii liczb, również tu istnieje wiele nierozwiązanych, a prosto sformułowanych problemów. Jednym z nich jest hipoteza Littlewooda (dane z roku 2004), która głosi, że dla dowolnych liczb niewymiernych α {\displaystyle \alpha } i β {\displaystyle \beta } ;

lim inf n   n n α n β = 0 , {\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\ n\cdot \|n\alpha \|\cdot \|n\beta \|=0,}

gdzie x {\displaystyle \|x\|} jest odległością od liczby x {\displaystyle x} do najbliższej liczby całkowitej:

x := min ( { x } , 1 { x } ) . {\displaystyle \|x\|:=\min(\{x\},1-\{x\}).}

Zobacz też | edytuj kod

Kontrola autorytatywna:
Na podstawie artykułu: "Aproksymacja diofantyczna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy