Autokorelacja


Autokorelacja w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Autokorelacja – narzędzie matematyczne często używane w przetwarzaniu sygnałów do analizowania funkcji lub serii wartości. Mniej formalnie jest to statystyka opisująca, w jakim stopniu dany wyraz szeregu zależy od wyrazów poprzednich w szeregu czasowym. Autokorelacja jest funkcją, która argumentowi naturalnemu k {\displaystyle k} przypisuje wartość współczynnika korelacji Pearsona pomiędzy szeregiem czasowym a tym samym szeregiem cofniętym o k {\displaystyle k} jednostek czasu.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Statystyka | edytuj kod

W statystyce funkcja autokorelacji opisuje korelację procesu w różnych punktach czasu. Załóżmy, że X t {\displaystyle X_{t}} jest wartością procesu w czasie t . {\displaystyle t.} Jeśli X t {\displaystyle X_{t}} ma wartość oczekiwaną równą μ {\displaystyle \mu } i wariancję równą σ 2 , {\displaystyle \sigma ^{2},} wówczas wzór ma postać:

R ( t , s ) = E ( X t μ ) ( X s μ ) σ 2 , {\displaystyle R(t,s)={\frac {E[(X_{t}-\mu )(X_{s}-\mu )]}{\sigma ^{2}}},}

gdzie E {\displaystyle E} jest wartością oczekiwaną.

Definiuje się również autokorelację jako funkcję jednej zmiennej – różnicy k = t s : {\displaystyle k=t-s{:}}

R ( k ) = E ( X t μ ) ( X t k μ ) σ 2 . {\displaystyle R(k)={\frac {E[(X_{t}-\mu )(X_{t-k}-\mu )]}{\sigma ^{2}}}.}

Na przykład autokorelacja cen akcji dla k = 1 {\displaystyle k=1} tydzień będzie korelacją cen akcji z cenami tych samych akcji sprzed tygodnia.

Przetwarzanie sygnałów | edytuj kod

W przetwarzaniu sygnałów powyższa definicja jest często stosowana bez normalizacji, to znaczy bez odejmowania średniej oraz dzielenia przez wariancję.

R f f ( τ ) = f ¯ ( τ ) f ( τ ) = f ( t + τ ) f ¯ ( t ) d t = f ( t ) f ¯ ( t τ ) d t , {\displaystyle R_{ff}(\tau )={\overline {f}}(-\tau )*f(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t+\tau ){\overline {f}}(t)\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\overline {f}}(t-\tau )\,dt,}

gdzie τ {\displaystyle \tau } jest opóźnieniem, a f ¯ {\displaystyle {\overline {f}}} liczbą sprzężoną.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Autokorelacja" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy