Centralizator i normalizator


Centralizator i normalizator w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Centralizator (centrum), normalizator – specjalne podgrupy danej grupy mające szerokie zastosowaniu w jej badaniu.

Spis treści

Centralizator | edytuj kod

Niech x G . {\displaystyle x\in G.} Centralizatorem elementu x {\displaystyle x} nazywamy podgrupę

C G ( x ) = { g G : g x = x g } . {\displaystyle C_{G}(x)=\{g\in G:gx=xg\}.}

Centralizator elementu zawiera więc wszystkie elementy przemienne z danym.

Powyższą konstrukcję można uogólnić do dowolnego podzbioru G , {\displaystyle G,} niekoniecznie będącego podgrupą.

Centralizatorem zbioru H G {\displaystyle H\subset G} nazywamy grupę

C ( H ) = { g G : h H g h = h g } . {\displaystyle C(H)=\{g\in G:\forall _{h\in H}\;gh=hg\}.}

Grupa ta jest przemienna z każdym z elementów zbioru H . {\displaystyle H.}

Centrum | edytuj kod

Centrum grupy – szczególny przypadek centralizatora:

Z ( G ) = C G ( G ) . {\displaystyle Z(G)=C_{G}(G).}

Centrum jest więc podgrupą elementów, które są przemienne z każdym elementem grupy G , {\displaystyle G,} mamy zatem Z ( G ) = { x G : g G x g = g x } . {\displaystyle Z(G)=\{x\in G:\forall _{g\in G}xg=gx\}.}

O centralizatorze elementu x {\displaystyle x} można myśleć jako o największej (w sensie inkluzji) podgrupie H G {\displaystyle H\leqslant G} zawierającej x {\displaystyle x} w swoim centrum Z ( H ) . {\displaystyle Z(H).}

Indeks grupy względem centrum ( G : Z ( G ) ) {\displaystyle (G:Z(G))} można interpretować jako wskaźnik abelowości grupy – im mniejsza to liczba, tym więcej elementów w grupie jest ze sobą przemiennych i odwrotnie.

W ten sam sposób definiujemy centrum pierścienia, Z ( R ) . {\displaystyle Z(R).}

Twierdzenie Schura | edytuj kod

Jeśli ( G : Z ( G ) ) < , {\displaystyle (G:Z(G))<\infty ,} to | G , G | < . {\displaystyle |[G,G]|<\infty .}

Dowód twierdzenia Schura Czytelnik znajdzie w[1].

Normalizator | edytuj kod

Dopełnieniem konceptu centralizatora jest tzw. normalizator zbioru H G . {\displaystyle H\subset G.}

Normalizatorem H {\displaystyle H} w G {\displaystyle G} jest podgrupa

N G ( H ) = { g G : g H = H g } G . {\displaystyle N_{G}(H)=\{g\in G:gH=Hg\}\leqslant G.}

Normalizator swoją nazwę zawdzięcza faktowi, że jeśli H G , {\displaystyle H\leqslant G,} to N G ( H ) {\displaystyle N_{G}(H)} jest największą podgrupą G {\displaystyle G} mającą H {\displaystyle H} jako swoją podgrupę normalną.

Działanie grupy na zbiorze | edytuj kod

Niech H G {\displaystyle H\leqslant G} będzie dowolną podgrupą. Rozpatrzmy działanie grupy φ : G Σ G / H {\displaystyle \varphi :G\to \Sigma _{G/H}} grupy G {\displaystyle G} na zbiorze warstw G / H {\displaystyle G/H} zadane wzorem φ g ( a H ) = g a H . {\displaystyle \varphi _{g}(aH)=gaH.} Wówczas ker φ = g G g H g 1 H {\displaystyle \ker \varphi =\bigcap _{g\in G}\;gHg^{-1}\leqslant H} jest podgrupą normalną G . {\displaystyle G.} Jest to największa ze względu na zawieranie podgrupa normalna zawarta w H . {\displaystyle H.}

Jeśli H G , {\displaystyle H\triangleleft G,} to H = ker φ {\displaystyle H=\ker \varphi }

Oznaczenia | edytuj kod

W oznaczeniach centralizatora i normalizatora, o ile nie prowadzi to do nieporozumień, można pominąć indeks oznaczający grupę względem której rozpatruje się centralizator lub normalizator danego elementu, czy zbioru. W grupie G {\displaystyle G} mamy więc C ( H ) C G ( H ) {\displaystyle C(H)\equiv C_{G}(H)} oraz N ( H ) N G ( H ) {\displaystyle N(H)\equiv N_{G}(H)} dla dowolnego zbioru H G . {\displaystyle H\subset G.}

Własności | edytuj kod

Niech G , G 1 , G 2 {\displaystyle G,G_{1},G_{2}} będą grupami, H G : {\displaystyle H\subset G{:}}

  • Niech a , b G . {\displaystyle a,b\in G.} a C ( b ) b C ( a ) , {\displaystyle a\in C(b)\iff b\in C(a),} co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} komutują ze sobą.
    • Jeśli G = { a } , {\displaystyle G=\{a\},} to N ( S ) = C ( S ) = C ( a ) . {\displaystyle N(S)=C(S)=C(a).}
  • Jeśli G {\displaystyle G} jest abelowa, to C ( H ) = G {\displaystyle C(H)=G} oraz N ( H ) = G , {\displaystyle N(H)=G,}
    • grupa G {\displaystyle G} jest abelowa Z ( G ) = G . {\displaystyle \iff Z(G)=G.}
  • C ( H ) {\displaystyle C(H)} jest zawsze podgrupą normalną N ( H ) , {\displaystyle N(H),}
    • Z ( G ) {\displaystyle Z(G)} jest podgrupą normalną G . {\displaystyle G.}
  • Z ( G 1 × G 2 ) = Z ( G 1 ) × Z ( G 2 ) {\displaystyle Z(G_{1}\times G_{2})=Z(G_{1})\times Z(G_{2})}
  • Jeśli grupa ilorazowa G / Z ( G ) {\displaystyle G/Z(G)} jest cykliczna, to G {\displaystyle G} jest abelowa.
  • Jeśli G {\displaystyle G} jest grupą nieabelową, to jej indeks względem Z ( G ) {\displaystyle Z(G)} jest większy od 3. {\displaystyle 3.}
  • Jeśli X , {\displaystyle X\neq \varnothing ,} to Z ( G X ) = ( Z ( G ) ) X . {\displaystyle Z(G^{X})=(Z(G))^{X}.}

Uwagi | edytuj kod

Jeżeli H G , {\displaystyle H\leqslant G,} wtedy grupa ilorazowa N ( H ) / C ( H ) {\displaystyle N(H)/C(H)} jest izomorficzna z podgrupą Aut ( H ) , {\displaystyle \operatorname {Aut} (H),} grupą automorfizmów H . {\displaystyle H.}

Jeżeli N G ( G ) = G , {\displaystyle N_{G}(G)=G,} to G / Z ( G ) {\displaystyle G/Z(G)} jest izomorficzna z Inn ( G ) , {\displaystyle \operatorname {Inn} (G),} podgrupą Aut ( G ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (G)} zawierającą wszystkie automorfizmy wewnętrzne grupy G . {\displaystyle G.}

Jeżeli H G , {\displaystyle H\subset G,} to homomorfizm φ : G Inn ( G ) {\displaystyle \varphi \colon G\to \operatorname {Inn} (G)} taki, że φ ( x ) ( g ) = φ x ( g ) = x g x 1 , {\displaystyle \varphi (x)(g)=\varphi _{x}(g)=xgx^{-1},} pozwala na opisanie N ( H ) {\displaystyle N(H)} oraz C ( H ) {\displaystyle C(H)} w terminach działania grupy Inn ( G ) {\displaystyle \operatorname {Inn} (G)} na grupie G : {\displaystyle G{:}}

  • φ ( N ( H ) ) {\displaystyle \varphi (N(H))} jest stabilizatorem H {\displaystyle H} w Inn ( G ) , {\displaystyle \operatorname {Inn} (G),}
  • φ ( C ( H ) ) Inn ( G ) {\displaystyle \varphi (C(H))\leqslant \operatorname {Inn} (G)} jest podgrupą punktów stałych H . {\displaystyle H.}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Herrn Huppert: Endliche Gruppen, I. Springer Verlag, 1967.

Bibliografia | edytuj kod

  • A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
  • Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ​ISBN 83-904564-9-4​.
Na podstawie artykułu: "Centralizator i normalizator" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy