Dzielenie przez zero


Dzielenie przez zero w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Dzielenie przez zerodzielenie, w którym dzielnik jest zerem; jako takie nie ma ono sensu liczbowego, przez co bywa źródłem błędów obliczeniowych, często ukrytych.

Prostym przykładem błędu wynikłego z dzielenia przez zero jest następujący: niech a = 1 {\displaystyle a=1} i b = 1 , {\displaystyle b=1,} wówczas skoro a = b , {\displaystyle a=b,} to również a 2 = b 2 {\displaystyle a^{2}=b^{2}} oraz a 2 b 2 = 0 , {\displaystyle a^{2}-b^{2}=0,} a ze wzoru na różnicę kwadratów jest ( a b ) ( a + b ) = 0. {\displaystyle (a-b)(a+b)=0.} Dzieląc stronami przez a b , {\displaystyle a-b,} uzyskuje się

( a b ) ( a + b ) a b = 0 a b , {\displaystyle {\frac {(a-b)(a+b)}{a-b}}={\frac {0}{a-b}},}

co jest równoważne a + b = 0 , {\displaystyle a+b=0,} a więc 1 + 1 = 0 , {\displaystyle 1+1=0,} skąd 2 = 0. {\displaystyle 2=0.} Otrzymana sprzeczność wynika z zastosowania dzielenia przez a b = 1 1 = 0. {\displaystyle a-b=1-1=0.}

Wyjaśnienie | edytuj kod

W grupie abelowej G {\displaystyle \mathbf {G} } z działaniem {\displaystyle \cdot } ’ każde równanie postaci

a = b x {\displaystyle a=b\cdot x}

ma dokładnie jedno rozwiązanie. Tym samym w grupie G {\displaystyle \mathbf {G} } zdefiniowana jest funkcja, która każdej parze elementów a , b G {\displaystyle a,b\in \mathbf {G} } przypisuje dokładne jeden element oznaczany a b . {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}.} Jest to więc działanie odwrotne względem ‘ {\displaystyle \cdot } ’ nazywane dzieleniem (w terminologii addytywnej – odejmowaniem).

Jeśli grupa G {\displaystyle \mathbf {G} } jest grupą multiplikatywną pewnego ciała K , {\displaystyle \mathbf {K} ,} to tym samym zdefiniowane jest dzielenie w zbiorze elementów niezerowych ciała K . {\displaystyle \mathbf {K} .}

Próba rozszerzenia dziedziny tego działania na wszystkie elementy ciała prowadzi do prób rozwiązania następujących równań:

  • 0 = b x ,     b 0 {\displaystyle 0=b\cdot x,\ \ b\neq 0}
    Ma ono dokładnie jedno rozwiązanie x = 0. {\displaystyle x=0.} Jeśli zamiast ciała mamy pierścień z dzielnikami zera i b jest takim niezerowym dzielnikiem zera, to rozwiązaniem tego równania jest pewien niezerowy dzielnik zera, czyli rozwiązań jest więcej niż jedno.
  • a = 0 x ,     a 0 {\displaystyle a=0\cdot x,\ \ a\neq 0}
    Równanie to jest sprzeczne, bo w dowolnym ciele (ogólniej – w dowolnym pierścieniu) zachodzi 0 x = 0 {\displaystyle 0\cdot x=0} dla każdego x K . {\displaystyle x\in \mathbf {K} .}
  • 0 = 0 x {\displaystyle 0=0\cdot x}
    Równanie to jest nieoznaczone, tzn. jest spełnione dla każdego elementu ciała (ogólniej – każdego elementu pierścienia).

W efekcie w każdym ciele jedynie wyrażenie postaci a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} dla b 0 {\displaystyle b\neq 0} ma dokładnie jedną, konkretną wartość, w szczególności 0 b = 0 {\displaystyle {\tfrac {0}{b}}=0} dla dowolnego b≠0. Dołączenie warunku 0 b = 0 , {\displaystyle {\tfrac {0}{b}}=0,} b 0 {\displaystyle b\neq 0} do definicji dzielenia nie prowadzi jednak do rozciągnięcia definicji dzielenia na zerowe liczniki, bowiem dziedzina działania dwuargumentowego musi być identyczna dla każdego argumentu.

Natomiast wyrażeniu a 0 , {\displaystyle {\tfrac {a}{0}},} a 0 {\displaystyle a\neq 0} nie można przypisać żadnej wartości, a wyrażeniu 0 0 {\displaystyle {\tfrac {0}{0}}} odpowiadałaby dowolna wartość. I oba przypadki nie spełniają warunków definicji działania.

Oznaczenia | edytuj kod

 Osobne artykuły: symbol nieoznaczony, rozszerzony zbiór liczb rzeczywistychrozszerzony zbiór liczb zespolonych.

Choć symbol a 0 {\displaystyle {\tfrac {a}{0}}} dla dowolnego a , {\displaystyle a,} również dla zera, nie ma sensu, to oznaczenie to stosuje się w analizie matematycznej do oznaczania niewłaściwych granic ciągów czy granic funkcji. Jeśli a 0 {\displaystyle a\neq 0} jest dowolną liczbą, to symbol ten oznacza, że granicą ciągu bądź funkcji jest ± {\displaystyle \pm \infty } (w zależności od znaku tej liczby). Symbol 0 0 {\displaystyle {\tfrac {0}{0}}} oznacza, że dana granica może mieć dowolną granicę właściwą bądź niewłaściwą, bądź może nie istnieć. W przypadku liczb rzeczywistych pomocne mogą się okazać inne kryteria zbieżności, np. twierdzenie Stolza w przypadku ciągów lub jego różniczkowy odpowiednik dla funkcji – reguła de l’Hospitala. Symbole te stosuje się również w kontekście liczb zespolonych, gdzie standardowo mają podobną interpretację.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Dzielenie przez zero" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy