Ekstrapolacja (matematyka)


Ekstrapolacja (matematyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Przykład problemu ekstrapolacji. Wartość w niebieskim polu, dla x = 7, może być prognozowana na podstawie znanych wartości (czerwone punkty).

Ekstrapolacjaprognozowanie wartości pewnej zmiennej lub funkcji poza zakresem, dla którego mamy dane, przez dopasowanie do istniejących danych pewnej funkcji, następnie wyliczenie jej wartości w szukanym punkcie[1][2].

Pokrewną metodą jest interpolacja, gdzie po dopasowaniu funkcji wyliczamy jej wartość pomiędzy znanymi jej punktami.

Spis treści

Ekstrapolacja iterowana Richardsona | edytuj kod

Do obliczenia pewnej wielkości stosuje się metodę numeryczną z parametrem h {\displaystyle h} . Wynikiem jej działania jest F ( h ) {\displaystyle F(h)} . Z wartością dokładną mamy do czynienia tylko, jeśli h = 0 {\displaystyle h=0} .[3] Trudności obliczeniowe rosną gdy h {\displaystyle h} maleje[3]. Metoda ta była jedną z idei kluczowych algorytmu Bulirscha-Stoera[3]

Zakładamy, że znamy postać rozwinięcia ( p 1 < p 2 < p 3 < . . . {\displaystyle p_{1}<p_{2}<p_{3}<...} )

F ( h ) = a 0 + a 1 h p 1 + a 2 h p 2 + a 3 h p 3 . . . {\displaystyle F(h)=a_{0}+a_{1}h^{p_{1}}+a_{2}h^{p_{2}}+a_{3}h^{p_{3}}...}

F(0) ekstrapolujemy na podstawie kilku obliczonych wartości

F ( h 0 ) , F ( q 1 h 0 ) , F ( q 2 h 0 ) , F ( q 3 h 0 ) . . . q > 1 {\displaystyle F(h_{0}),F(q^{-1}h_{0}),F(q^{-2}h_{0}),F(q^{-3}h_{0})...q>1}

Ekstrapolacja iterowana Richardsona pozwala na utworzenie ciągu funkcji , którego n-ty wyraz ma rozwinięcie:

F n ( h ) = a 0 + a n , n h p n + a n , n + 1 h p n + 1 + a n , n + 2 h p n + 2 . . . {\displaystyle F_{n}(h)=a_{0}+a_{n,n}h^{p_{n}}+a_{n,n+1}h^{p_{n+1}}+a_{n,n+2}h^{p_{n+2}}...}

Sposób obliczeń: dana wartość początkowa h 0 {\displaystyle h_{0}} i liczba q>1, stosuje się wzór rekurencyjny:

A m , 0 = F ( q m h 0 ) {\displaystyle A_{m,0}=F(q^{-m}h_{0})} dla m = 0 , 1 , 2... {\displaystyle m=0,1,2...} A m , k = A m , k 1 + A m , k 1 A m 1 , k 1 q p k 1 {\displaystyle A_{m,k}=A_{m,k-1}+{\frac {A_{m,k-1}-A_{m-1,k-1}}{q^{p_{k}}-1}}} dla k = 1 , 2 , 3... {\displaystyle k=1,2,3...} F n ( h 0 ) = A n 1 , n 1 {\displaystyle F_{n}(h_{0})=A_{n-1,n-1}} dla n = 2 , 3 , 4... {\displaystyle n=2,3,4...}

Zastosowanie do różniczkowania numerycznego | edytuj kod

f ( x 0 + h ) = f ( x 0 ) + h f ( x 0 ) + h 2 2 ! f ( x 0 ) + h 3 3 ! f ( 3 ) ( x 0 ) + . . . {\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+hf'(x_{0})+{\frac {h^{2}}{2!}}f''(x_{0})+{\frac {h^{3}}{3!}}f^{(3)}(x_{0})+...}

Różnica progresywna

D p ( h ) = f ( x 0 + h ) f ( x 0 ) h = f ( x 0 ) + h 2 ! f ( x 0 ) + h 2 3 ! f ( 3 ) ( x 0 ) + . . . {\displaystyle D_{p}(h)={\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}=f'(x_{0})+{\frac {h}{2!}}f''(x_{0})+{\frac {h^{2}}{3!}}f^{(3)}(x_{0})+...} p 1 = 1 , p 2 = 2 , p 3 = 3 , . . . {\displaystyle p_{1}=1,p_{2}=2,p_{3}=3,...}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. ekstrapolacja – Słownik języka polskiego PWN, sjp.pwn.pl [dostęp 2017-07-02]  (pol.).
  2. g, Ekstrapolacja równania regresji na inne dane, Naukowiec.org [dostęp 2017-07-02]  (pol.).
  3. a b c Richardson Extrapolation, „Eric W. Weisstein” na MathWorld.
Na podstawie artykułu: "Ekstrapolacja (matematyka)" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy