Elipsoida


Elipsoida w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Elipsoida dla a=4, b=2, c=1

Elipsoidapowierzchnia, której wszystkie przekroje płaskie są elipsami. Czasem tym słowem oznacza się też bryłę ograniczoną tą powierzchnią. Szczególnym przypadkiem elipsoidy jest elipsoida obrotowa, czyli powierzchnia ograniczona powstała przez obrót elipsy wokół własnej osi symetrii.

Spis treści

Równania elipsoidy | edytuj kod

Równania elipsoidy są najprostsze, gdy jej osie symetrii pokrywają się z osiami układu współrzędnych. Niech półosie mają długości a , b , c . {\displaystyle a,b,c.}

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.} { x ( u , v ) = a cos u cos v y ( u , v ) = b sin v z ( u , v ) = c sin u cos v {\displaystyle {\begin{cases}x(u,v)=a\cos u\cos v\\y(u,v)=b\sin v\\z(u,v)=c\sin u\cos v\end{cases}}} gdzie: u π , π ) , {\displaystyle u\in [-\pi ,\pi ),} v π 2 , π 2 . {\displaystyle v\in [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}].} r 2 ( α , β ) = a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 sin 2 α cos 2 β + a 2 c 2 sin 2 β + b 2 c 2 cos 2 α cos 2 β {\displaystyle r^{2}(\alpha ,\beta )={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta +a^{2}c^{2}\sin ^{2}\beta +b^{2}c^{2}\cos ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta }}}

Elipsoida jako kwadryka | edytuj kod

Elipsoida jest kwadryką czyli pewną powierzchni drugiego stopnia o równaniu[1]:

a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2 a 12 x y + 2 a 23 y z + 2 a 31 z x + 2 a 14 x + 2 a 24 y + 2 a 34 z + a 44 = 0 , {\displaystyle a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{31}zx+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0,}

przy czym (przyjmując a i j = a j i {\displaystyle a_{ij}=a_{ji}} ):

Δ = | a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 | < 0 , {\displaystyle \Delta =\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{matrix}}\right|<0,} S δ = ( a 11 + a 22 + a 33 ) | a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 | > 0 {\displaystyle S\delta =(a_{11}+a_{22}+a_{33})\cdot \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{matrix}}\right|>0} oraz T = a 22 a 33 + a 33 a 11 + a 11 a 22 a 23 2 a 31 2 a 12 2 > 0. {\displaystyle T=a_{22}a_{33}+a_{33}a_{11}+a_{11}a_{22}-a_{23}^{2}-a_{31}^{2}-a_{12}^{2}>0.}

Objętość | edytuj kod

Objętość elipsoidy wyraża się wzorem:

V = 4 3 π a b c . {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc.}

Pole powierzchni | edytuj kod

Pole powierzchni elipsoidy wyraża się wzorem:

S = 2 π ( c 2 + b c 2 a 2 c 2 F ( θ , m ) + b a 2 c 2 E ( θ , m ) ) , {\displaystyle S=2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\theta ,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\theta ,m)\right),}

gdzie:

m = a 2 ( b 2 c 2 ) b 2 ( a 2 c 2 ) , {\displaystyle m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}},} θ = arcsin ε , {\displaystyle \theta =\arcsin {\varepsilon },} ε = 1 c 2 a 2 , {\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}},}

a F ( θ , m ) {\displaystyle F(\theta ,m)} i E ( θ , m ) {\displaystyle E(\theta ,m)} są niekompletnymi całkami eliptycznymi pierwszego i drugiego rodzaju.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 300.
Na podstawie artykułu: "Elipsoida" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy