Elipsoida


Elipsoida w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Elipsoida dla a=4, b=2, c=1

Elipsoidapowierzchnia, której wszystkie przekroje płaskie są elipsami. Czasem tym słowem oznacza się też bryłę ograniczoną tą powierzchnią. Szczególnym przypadkiem elipsoidy jest elipsoida obrotowa, czyli powierzchnia ograniczona powstała przez obrót elipsy wokół własnej osi symetrii.

Spis treści

Równania elipsoidy | edytuj kod

Równanie elipsoidy o środku symetrii w punkcie ( x 0 , y 0 , z 0 ) , {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0}),} osiach równoległych do osi układu i półosiach długości a , b , c {\displaystyle a,b,c} ma postać:

( x x 0 ) 2 a 2 + ( y y 0 ) 2 b 2 + ( z z 0 ) 2 c 2 = 1. {\displaystyle {\frac {(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(z-z_{0})^{2}}{c^{2}}}=1.}

Dla środka w początku układu współrzędnych równanie to przyjmuje postać:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}

Elipsoida, niezależnie od jej ustawienia w przestrzeni i doboru układu współrzędnych spełnia równanie powierzchni drugiego stopnia[1]:

a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2 a 12 x y + 2 a 23 y z + 2 a 31 z x + 2 a 14 x + 2 a 24 y + 2 a 34 z + a 44 = 0 , {\displaystyle a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{31}zx+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0,}

przy czym w celu odróżnienia jej od innych takich powierzchni należy zastosować (przyjmując a i j = a j i {\displaystyle a_{ij}=a_{ji}} ) warunki:

Δ = | a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 | < 0 {\displaystyle \Delta =\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{matrix}}\right|<0}

oraz

T = a 22 a 33 + a 33 a 11 + a 11 a 22 a 23 2 a 31 2 a 12 2 > 0. {\displaystyle T=a_{22}a_{33}+a_{33}a_{11}+a_{11}a_{22}-a_{23}^{2}-a_{31}^{2}-a_{12}^{2}>0.}

W tym samym układzie współrzędnych elipsoida może być opisana również za pomocą równania parametrycznego:

{ x ( u , v ) = x 0 + a cos u cos v y ( u , v ) = y 0 + b sin v z ( u , v ) = z 0 + c sin u cos v {\displaystyle {\begin{cases}x(u,v)=x_{0}+a\cos u\cos v\\y(u,v)=y_{0}+b\sin v\\z(u,v)=z_{0}+c\sin u\cos v\end{cases}}}

gdzie:

u π , π ) , {\displaystyle u\in [-\pi ,\pi ),} v π 2 , π 2 . {\displaystyle v\in [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}].}

W układzie współrzędnych sferycznych elipsoidę opisuje wzór

r 2 ( α , β ) = a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 sin 2 α cos 2 β + a 2 c 2 sin 2 β + b 2 c 2 cos 2 α cos 2 β {\displaystyle r^{2}(\alpha ,\beta )={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta +a^{2}c^{2}\sin ^{2}\beta +b^{2}c^{2}\cos ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta }}}

Objętość | edytuj kod

Objętość elipsoidy wyraża się wzorem:

V = 4 3 π a b c . {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc.}

Pole powierzchni | edytuj kod

Pole powierzchni elipsoidy wyraża się wzorem:

S = 2 π ( c 2 + b c 2 a 2 c 2 F ( θ , m ) + b a 2 c 2 E ( θ , m ) ) , {\displaystyle S=2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\theta ,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\theta ,m)\right),}

gdzie:

m = a 2 ( b 2 c 2 ) b 2 ( a 2 c 2 ) , {\displaystyle m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}},} θ = arcsin ε , {\displaystyle \theta =\arcsin {\varepsilon },} ε = 1 c 2 a 2 , {\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}},}

a F ( θ , m ) {\displaystyle F(\theta ,m)} i E ( θ , m ) {\displaystyle E(\theta ,m)} są niekompletnymi całkami eliptycznymi pierwszego i drugiego rodzaju.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – Poradnik encyklopedyczny. Wyd. 6. Warszawa: PWN, 1976, s. 300.
Na podstawie artykułu: "Elipsoida" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy