Elipsoida obrotowa


Elipsoida obrotowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Elipsoida obrotowapowierzchnia lub bryła powstała na skutek obrotu elipsy wokół jej osi symetrii. W przypadku Ziemi osią tą jest mała oś elipsy, czyli oś ziemska[1].

Elipsoida obrotowa to taka elipsoida, której co najmniej dwie półosie mają równą długość. Szczególnym przypadkiem elipsoidy obrotowej jest sfera, co ma miejsce, gdy obracająca się elipsa ma równe półosie, tzn. jest okręgiem, czyli elipsoida ma wszystkie trzy półosie równej długości.

Wzory i właściwości[1] | edytuj kod

Niech a , b , c {\displaystyle a,b,c} oznaczają długości osi, zorientowane tak, że x = a sin v cos u , y = a sin v sin u , z = c cos v , {\displaystyle x=a\sin v\cos u,y=a\sin v\sin u,z=c\cos v,} gdzie u { 0 , τ } , {\displaystyle u\in \{0,\tau \},} a v { o , π } . {\displaystyle v\in \{o,\pi \}.}

  • Pole powierzchni całkowitej bryły wynosi:

S = τ a 2 + ( π c 2 ) / ( e 1 ) l n ( ( 1 + e 1 ) / ( 1 e 1 ) ) = τ a 2 + ( τ a c ) / ( e 2 ) sin ( 1 ) e 2 = τ ( a 2 + ( c 2 ) / ( e 1 ) tanh ( 1 ) e 1 ) = τ a 2 + c 2 2 F 1 ( 1 / 2 , 1 ; 3 / 2 ; 1 ( c 2 ) / ( a 2 ) ) {\displaystyle S=\tau a^{2}+(\pi c^{2})/(e_{1})ln((1+e_{1})/(1-e_{1}))=\tau a^{2}+(\tau ac)/(e_{2})\sin ^{(-1)}e_{2}=\tau (a^{2}+(c^{2})/(e_{1})\tanh ^{(-1)}e_{1})=\tau [a^{2}+c_{2}^{2}F_{1}(1/2{,}1;3/2;1-(c^{2})/(a^{2}))]}

gdzie e 1 = ( 1 ( c 2 ) / ( a 2 ) ) e 2 = ( 1 ( a 2 ) / ( c 2 ) ) , {\displaystyle e_{1}={\sqrt {(}}1-(c^{2})/(a^{2}))e_{2}={\sqrt {(}}1-(a^{2})/(c^{2})),} a F 1 {\displaystyle F_{1}} to funkcja hipergeometryczna.

  • Objętość bryły wynosi:

4 π a 2 c 3 {\displaystyle {\frac {4\pi a^{2}c}{3}}}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. a b Eric W. Weisstein, „Spheroid” na MathWorld.
Na podstawie artykułu: "Elipsoida obrotowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy