Funkcja analityczna


Funkcja analityczna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja analityczna na zbiorze D - funkcja dająca się rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu każdego punktu należącego do D.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Funkcja f jest analityczna na zbiorze otwartym D w sensie rzeczywistym (zespolonym), jeśli dla każdego punktu x0 należącego do D zachodzi wzór

f ( x ) = n = 0 a n ( x x 0 ) n {\displaystyle f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}}

gdzie a jest ciągiem liczb rzeczywistych (odpowiednio zespolonych), a powyższy szereg jest zbieżny do f(x) dla każdego x z otoczenia x0.

Własności | edytuj kod

Przykłady | edytuj kod

  • Wszystkie wielomiany i funkcje wykładnicze są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej.
  • Funkcje wymierne ciągłe są analityczne w sensie rzeczywistym.
  • Logarytm jest analityczny w sensie rzeczywistym. Na płaszczyźnie zespolonej jest nieciągły na niedodatniej półprostej rzeczywistej.

Funkcje analityczne zmiennej zespolonej | edytuj kod

Pojęcie funkcji analitycznej różni się zasadniczo dla funkcji zespolonej. Wiele twierdzeń odnoszących się dla funkcji analitycznych w sensie zespolonym jest nieprawdziwych dla funkcji analitycznych w sensie rzeczywistym. Na przykład biorąc pod uwagę funkcję f zdefiniowaną jako

f ( x ) = 1 x 2 + 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}

Według twierdzenia Liouville’a każda funkcja analityczna i ograniczona jest równa stałej, co w przypadku f jest fałszem.

Dlatego najczęściej funkcję analityczną w sensie zespolonym nazywa się holomorficzną, jako że każda funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna. Ponadto jeśli funkcja jest analityczna w sensie zespolonym na całej płaszczyźnie zespolonej, mówi się wtedy o funkcji całkowitej.

Funkcja analityczna (w sensie zespolonym) na C {\displaystyle \mathbb {C} } jest rozwijalna w szereg Taylora który jest zbieżny na C {\displaystyle \mathbb {C} } . Nie jest to jednak prawdą dla funkcji zmiennej rzeczywistej. Dla przykładu funkcja f jest analityczna na R {\displaystyle \mathbb {R} } lecz nie da się jej rozwinąć w szereg Taylora zbieżny na całym zbiorze R {\displaystyle \mathbb {R} } .

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Funkcja analityczna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy