Funkcja liniowa


Funkcja liniowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Funkcje matematyczne ElementarneSpecjalne Teorioliczbowe Własności Przebieg zmienności Inne

Funkcja liniowafunkcja wielomianowa co najwyżej pierwszego stopnia[a], tj. postaci

x a x + b , {\displaystyle x\mapsto ax+b,}

gdzie a , b {\displaystyle a,b} są pewnymi stałymi liczbowymi (parametrami). W artykule rozpatrywane są funkcje zbioru liczb rzeczywistych w siebie, choć można wykorzystać liczby zespolone.

O dwóch zmiennych, z których każda jest funkcją liniową drugiej, mówi się, że są liniowo zależne lub w zależności liniowej.

Nazwa funkcji pochodzi od kształtu jej wykresu, który jest linią prostą daną równaniem y = a x + b . {\displaystyle y=ax+b.} Jednak w algebrze liniowej „liniowość” definiuje nie w oparciu o własności geometryczne, lecz o własności algebraiczne zachowujące strukturę tzw. przestrzeni liniowych. Funkcje mające tę własność nazywa się przekształceniami liniowymi lub odwzorowaniami liniowymi, a określenie „funkcja liniowa” rezerwuje się dla funkcji opisywanych w tym artykule. Funkcja liniowa jest przekształceniem liniowym, jeśli jest funkcją jednorodną, tj. gdy b = 0 ; {\displaystyle b=0;} mają one wówczas postać proporcjonalności prostej x a x . {\displaystyle x\mapsto ax.}

Funkcje liniowe mają wiele zastosowań związanych z ich regularną strukturą i znanymi własnościami – w szczególności geometrycznymi: korzysta się z nich podczas linearyzacji bardziej skomplikowanych zagadnień, np. przybliżania liniowego; w statystyce korzysta się z metody estymacji (szacowaniu) zależności między dwoma zbiorami danych nazywaną regresją liniową (popularną jej metodą jest metoda najmniejszych kwadratów), w której poszukuje się właśnie zależności będącej funkcją liniową przy jak najmniejszym błędzie standardowym.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

 Zobacz też: funkcja.

Niech f : R R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } będzie funkcją zmiennej rzeczywistej o wartościach rzeczywistych (o rzeczywistych dziedzinie i przeciwdziedzinie). Funkcję f {\displaystyle f} nazywa się liniową, jeżeli dana jest wzorem

f ( x ) = a x + b , {\displaystyle f(x)=ax+b,}

gdzie a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} są ustalonymi stałymi rzeczywistymi. Niektóre źródła[1] wymagają dodatkowo, aby f {\displaystyle f} była niezdegenerowana, tj.

a 0. {\displaystyle a\neq 0.}

Większość źródeł nie stawia takich wymagań.

Współczynnik a {\displaystyle a} nazywany jest współczynnikiem kierunkowym, współczynnik b {\displaystyle b} wyrazem wolnym.

Własności | edytuj kod

Jeśli a 0 , {\displaystyle a\neq 0,} to f {\displaystyle f} jest nieograniczona, nieokresowa i monotoniczna: rosnąca dla a > 0 {\displaystyle a>0} i malejąca dla a < 0 , {\displaystyle a<0,} ponadto jest różnowartościowa i „na”, a co za tym idzie wzajemnie jednoznaczna. Jest więc odwracalna (jej funkcja odwrotna również jest liniowa). Jeśli b = 0 , {\displaystyle b=0,} to f {\displaystyle f} jest nieparzysta.

Jeśli a = 0 , {\displaystyle a=0,} to f {\displaystyle f} jest funkcją stałą i jako taka jest ograniczona, parzysta, nie jest również różnowartościowa ani „na”, czyli wzajemnie jednoznaczna. Nie jest więc odwracalna. Jeśli dodatkowo b = 0 , {\displaystyle b=0,} to jest jednocześnie nieparzysta.

Jeśli a 0 , {\displaystyle a\neq 0,} to f {\displaystyle f} ma dokładnie jedno miejsce zerowe postaci b a . {\displaystyle -{\tfrac {b}{a}}.} Jeśli a = 0 , {\displaystyle a=0,} to f {\displaystyle f} nie ma miejsc zerowych, gdy b 0 {\displaystyle b\neq 0} i ma nieskończenie miejsc zerowych, gdy b = 0. {\displaystyle b=0.}

Funkcję liniową wystarczy określić dla dowolnych dwóch różnych argumentów. Istotnie, jeśli y 1 = f ( x 1 ) , y 2 = f ( x 2 ) , {\displaystyle y_{1}=f(x_{1}),\;y_{2}=f(x_{2}),} to:

f ( x ) = y 2 y 1 x 2 x 1 x + y 1 x 2 y 2 x 1 x 2 x 1 . {\displaystyle f(x)={\tfrac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}x+{\tfrac {y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}

Funkcja liniowa (jako funkcja wielomianowa) jest ciągła i różniczkowalna (a więc także gładka), przy czym pierwsza pochodna jest równa a , {\displaystyle a,} a kolejne są tożsamościowo równe zeru.

Wykres funkcji liniowej | edytuj kod

Wykresy trzech funkcji liniowych. Funkcje o równoległych wykresach zaznaczonych kolorami czerwonym i niebieskim mają ten sam współczynnik kierunkowy, z kolei funkcje o wykresami w kolorach czerwonym i zielonym mają równe wyrazy wolne, skąd mają ten sam punkt przecięcia z osią O Y . {\displaystyle OY.}  Zobacz też: wykres funkcjiukład współrzędnych.

W układzie współrzędnych prostoliniowych (na płaszczyźnie) funkcja liniowa x a x + b {\displaystyle x\mapsto ax+b} ma wykres będący prostą, przy czym

  • przecina ona oś O Y {\displaystyle OY} w punkcie ( 0 , b ) {\displaystyle (0,b)}
  • przecina ona oś O X {\displaystyle OX} w punkcie ( b a , 0 ) {\displaystyle (-{\tfrac {b}{a}},0)} dla a 0 , {\displaystyle a\neq 0,} nie przecina tej osi, gdy a = 0 , b 0. {\displaystyle a=0,\,\,b\neq 0.}

W układzie współrzędnych prostokątnych (tzn. o prostopadłych osiach) z równymi jednostkami (tzn. wektorami jednostkowymi definiującymi osie) zachodzi

a = tg   α , {\displaystyle a={\text{tg}}\ \alpha ,}

gdzie α {\displaystyle \alpha } jest kątem skierowanym między wykresem i osią O X . {\displaystyle OX.}

Oznacza to, że współczynnik kierunkowy jest tangensem kąta skierowanego α , {\displaystyle \alpha ,} co tłumaczy nazwę tego współczynnika.

Każda prosta nierównoległa do osi O Y {\displaystyle OY} jest wykresem pewnej funkcji liniowej.

Własności grupowe i reprezentacja macierzowa | edytuj kod

  • Złożenie dwóch funkcji liniowych jest funkcją liniową. Niech:
f ( x ) = a x + b , g ( x ) = a 1 x + b 1 . {\displaystyle f(x)=ax+b,\;\;g(x)=a_{1}x+b_{1}.} Wówczas ( g f ) ( x ) = a 1 ( a x + b ) + b 1 = a 1 a x + a 1 b + b 1 {\displaystyle (g\circ f)\,(x)=a_{1}(ax+b)+b_{1}=a_{1}ax+a_{1}b+b_{1}} także jest funkcją liniową.
  • Dla funkcji f ( x ) = a x + b {\displaystyle f(x)=ax+b} i e ( x ) = x {\displaystyle e(x)=x} zachodzi
( f e ) ( x ) = ( e f ) ( x ) = f ( x ) . {\displaystyle (f\circ e)\,(x)=(e\circ f)\,(x)=f(x).}
  • Ponadto dla funkcji f ( x ) = a x + b , {\displaystyle f(x)=ax+b,} w której a 0 , {\displaystyle a\neq 0,} funkcja g ( x ) = 1 a x b a {\displaystyle g(x)={\tfrac {1}{a}}x-{\tfrac {b}{a}}} jest funkcją odwrotną:
( f g ) ( x ) = ( g f ) ( x ) = e ( x ) . {\displaystyle (f\circ g)\,(x)=(g\circ f)\,(x)=e(x).}

Ponieważ niezdegenerowana funkcja liniowa jest bijekcją, więc działanie składania takich funkcji jest działaniem łącznym. Oznacza to, że zbiór niezdegenerowanych funkcji liniowych jest grupą.

Funkcję liniową f ( x ) = a x + b {\displaystyle f(x)=ax+b} można reprezentować jako macierz postaci:

F = a b 0 1 . {\displaystyle F={\begin{bmatrix}a&b\\0&1\end{bmatrix}}.}

przy tym mnożeniu takich macierzy odpowiada składanie funkcji liniowych.

Własności algebraiczne zbioru funkcji liniowych wynikają z własności pierścienia macierzy górnotrójkątnych powyższej postaci. Jeśli dodatkowo a 0 , {\displaystyle a\neq 0,} to macierze te tworzą grupę ze względu na mnożenie[b].

Własności geometryczne i uogólnienia | edytuj kod

Niezdegenerowana funkcja liniowa f : R R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } postaci f ( x ) = a x + b {\displaystyle f(x)=ax+b} jest podobieństwem prostej R {\displaystyle \mathbb {R} } na siebie, przy tym | a | {\displaystyle |a|} jest skalą tego podobieństwa.

Ponadto:

  • dla a = 1 , b = 0 {\displaystyle a=1,\,b=0} jest to tożsamość,
  • dla a = 1 , b 0 {\displaystyle a=1,\,b\neq 0} jest to translacja o przesunięciu b , {\displaystyle b,}
  • dla a = 1 {\displaystyle a=-1} jest to symetria środkowa względem punktu b 2 . {\displaystyle {\tfrac {b}{2}}.}

Dla a > 0 {\displaystyle a>0} jest to podobieństwo parzyste (z zachowaniem orientacji), dla a < 0 {\displaystyle a<0} jest to podobieństwo nieparzyste (ze zmianą orientacji)[c].

Jeśli f {\displaystyle f} nie jest translacją, tj. a 1 , {\displaystyle a\neq 1,} to ma ona punkt stały b 1 a . {\displaystyle {\tfrac {b}{1-a}}.}

Funkcja liniowa niezdegenerowana f : R R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } ma swoje uogólnienie na płaszczyznę R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} i ogólniej – na R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} i nazywa się wówczas przekształceniem afinicznym (w przypadku prostej przekształcenia afiniczne sprowadzają się do podobieństw):

f ( x ) = a x + b , {\displaystyle f(x)=ax+b,}

gdzie x , b R n , {\displaystyle x,b\in \mathbb {R} ^{n},} a {\displaystyle a} jest nieosobliwą macierzą n × n . {\displaystyle n\times n.}

Jest to najogólniejsza struktura, w której możliwe jest zdefiniowanie funkcji o tym wzorze.

Innym uogólnieniem niezdegenerowanej funkcji liniowej jest funkcja f : R n R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } postaci

f ( x ) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n + b , {\displaystyle f(x)=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+b,}

gdzie nie wszystkie a i {\displaystyle a_{i}} są zerowe.

Jej wykresem jest pewna hiperpłaszczyzna w przestrzeni R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}

Przykłady zależności liniowych | edytuj kod

  • Wartość n {\displaystyle n} -tego wyrazu a n {\displaystyle a_{n}} ciągu arytmetycznego jest liniową funkcją jego numeru n {\displaystyle n} :
a n = r n + a 1 r , {\displaystyle a_{n}=rn+a_{1}-r,} gdzie r {\displaystyle r} jest różnicą ciągu, a 1 {\displaystyle a_{1}} jego pierwszym wyrazem.
  • Temperatura T F {\displaystyle T_{F}} w skali Fahrenehita jest liniową funkcją temperatury T C {\displaystyle T_{C}} w skali Celsjusza:
T F = 9 5 T C + 32. {\displaystyle T_{\mathrm {F} }={\tfrac {9}{5}}T_{\mathrm {C} }+32.} x t = v t + x 0 , {\displaystyle \mathrm {x} _{t}=\mathbf {v} t+\mathrm {x} _{0},} gdzie v {\displaystyle v} jest prędkością, x 0 {\displaystyle x_{0}} położeniem początkowym. W ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość v t {\displaystyle v_{t}} jest liniową funkcją czasu t . {\displaystyle t.} v t = a t + v 0 , {\displaystyle v_{t}=at+v_{0},} gdzie a {\displaystyle a} jest przyspieszeniem, v 0 {\displaystyle v_{0}} jest prędkością początkową.
  • Efekt Dopplera: jeśli obserwator zbliża się z prędkością v o {\displaystyle v_{o}} do nieruchomego źródła fali o częstotliwości f z , {\displaystyle f_{z},} to częstotliwość f o {\displaystyle f_{o}} odbieranej przez niego fali jest funkcją liniową jego własnej prędkości v o {\displaystyle v_{o}} :
f o = f z v v o + f z , {\displaystyle f_{o}={\tfrac {f_{z}}{v}}v_{o}+f_{z},} gdzie v {\displaystyle v} jest prędkością fali w ośrodku.

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Niektóre źródła wymagają, aby stopień był dokładnie równy 1.
  2. Wszystkie omówione w tej sekcji własności zachowują się dla dowolnego ciała.
  3. Funkcja liniowa określona dla liczb zespolonych ustala na płaszczyźnie zespolonej podobieństwo parzyste, tj. nie można wygenerować np. symetrii osiowej.

Przypisy | edytuj kod

  1. Waliszewski, Encyklopedia szkolna.

Bibliografia | edytuj kod

  • Jacek Gancarzewicz: Algebra liniowa i jej zastosowanie. Uniwersytet Jagielloński, 2014. ISBN 83-233-1832-8.
  • Włodzimierz Waliszewski: Encyklopedia szkolna. Warszawa: Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne, 1988. ISBN 83-02-02551-8. s. 312
  • Marek Kordos, Lesław Szczerba: Geometria dla nauczycieli. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.
Na podstawie artykułu: "Funkcja liniowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy