Funkcja odwrotna


Funkcja odwrotna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja odwrotnafunkcja przyporządkowująca wartościom jakiejś funkcji jej odpowiednie argumenty, czyli działająca odwrotnie do niej.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Funkcję f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} nazywamy odwracalną w Y , {\displaystyle Y,} gdy istnieje funkcja g : Y X {\displaystyle g\colon Y\to X} taka, że:

g ( f ( x ) ) = x {\displaystyle g(f(x))=x} dla każdego x X {\displaystyle x\in X} f ( g ( y ) ) = y {\displaystyle f(g(y))=y} dla każdego y Y . {\displaystyle y\in Y.}

Innymi słowy g {\displaystyle g} jest taką funkcją, że złożenia g f {\displaystyle g\circ f} oraz f g {\displaystyle f\circ g} są identycznościami, odpowiednio, na zbiorze X {\displaystyle X} i Y . {\displaystyle Y.} Funkcję g {\displaystyle g} nazywamy funkcją odwrotną do f {\displaystyle f} i oznaczamy symbolem f 1 . {\displaystyle f^{-1}.}

Bezpośrednio z definicji wynika, że f {\displaystyle f} jest funkcją odwracalną w Y {\displaystyle Y} wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), czyli jednocześnie jest funkcją różnowartościową (iniekcją) i funkcją „na” (surjekcją).

Jeżeli f {\displaystyle f} odwzorowuje X {\displaystyle X} na Y , {\displaystyle Y,} to f 1 {\displaystyle f^{-1}} odwzorowuje Y {\displaystyle Y} na X . {\displaystyle X.}

Oznaczenia f 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} nie należy mylić z symbolem ( f ( x ) ) 1 = 1 f ( x ) . {\displaystyle (f(x))^{-1}={\tfrac {1}{f(x)}}.}

Istnienie | edytuj kod

Nie dla każdej funkcji istnieje funkcja do niej odwrotna.

Twierdzenie

Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej relacja odwrotna jest funkcją nazywaną wówczas funkcją odwrotną; relacja odwrotna, to relacja otrzymana przez zamienienie miejscami jej argumentów.

Wynika z tego, iż relacja ze zbioru wartości do zbioru argumentów dla danej funkcji niebędącej bijekcją nie musi być funkcją.

Wyznaczanie | edytuj kod

Wyznaczenie funkcji odwrotnej g {\displaystyle g} do danej f {\displaystyle f} polega na rozwiązaniu równania

y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)}

względem niewiadomej x . {\displaystyle x.} Rozwiązanie, czyli

x = g ( y ) , {\displaystyle x=g(y),}

to poszukiwana funkcja odwrotna.

Przykłady | edytuj kod

Funkcja f {\displaystyle f} ma odwrotną f 1 ; {\displaystyle f^{-1};} ponieważ f {\displaystyle f} odwzorowuje a {\displaystyle a} na 3, to f 1 {\displaystyle f^{-1}} przekształca 3 w a . {\displaystyle a.}
  • Przypisanie numeru PESEL każdemu (żyjącemu) Polakowi można odwrócić w naturalny sposób: znajdując Polaka według numeru PESEL. (Zakładając, że funkcja przypisująca PESEL jest injekcją, co nie jest prawdą z powodu błędów w przyznawaniu numerów PESEL[1])
  • Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej.
  • Funkcją odwrotną do funkcji liczbowej danej wzorem y ( x ) = 3 x {\displaystyle y(x)=3x} jest funkcja x ( y ) = y 3 . {\displaystyle x(y)={\tfrac {y}{3}}.}
  • Funkcja f ( n ) = n 2 {\displaystyle f(n)=n^{2}} nie jest odwracalna jako funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych – chociażby dlatego, że f ( 1 ) = f ( 1 ) = 1 {\displaystyle f(1)=f(-1)=1} (nie jest różnowartościowa), jak również i na zbiorze liczb naturalnych, ponieważ nie jest surjekcją, w związku z tym funkcja dana wzorem g ( n ) = n {\displaystyle g(n)={\sqrt {n}}} dla n N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } nie jest funkcją odwrotną do funkcji f . {\displaystyle f.}
  • Funkcją odwrotną do funkcji danej wzorem h ( x ) = 1 x {\displaystyle h(x)={\tfrac {1}{x}}} dla x 0 {\displaystyle x\neq 0} jest ona sama, tzn. h 1 ( x ) = 1 x {\displaystyle h^{-1}(x)={\tfrac {1}{x}}} (zob. Inwolucje).

Własności | edytuj kod

Jednoznaczność | edytuj kod

Jeżeli funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie: jest ona relacją odwrotną.

Symetria | edytuj kod

Między funkcją a funkcją do niej odwrotną istnieje symetria. Dokładniej, jeśli odwrotną do f {\displaystyle f} jest f 1 , {\displaystyle f^{-1},} to odwrotną do f 1 {\displaystyle f^{-1}} jest funkcja f . {\displaystyle f.} Symbolicznie:

jeżeli  f 1 f = id X , to  f f 1 = id Y . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{jeżeli }}&f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}{\text{,}}\\&{\text{to }}&f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}{\text{.}}\end{aligned}}}

Obserwacja ta zachodzi na mocy uwagi, iż odwrotność relacji jest inwolucją: powtórzenie tej operacji cofa do punktu wyjścia. Własność symetrii może być wyrażona krótko za pomocą wzoru:

( f 1 ) 1 = f . {\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}

Odwrotność złożenia | edytuj kod

Funkcją odwrotną do g f {\displaystyle g\circ f} jest f 1 g 1 . {\displaystyle f^{-1}\circ g^{-1}.}

Funkcja odwrotna do złożenia funkcji dana jest wzorem

( g f ) 1 = f 1 g 1 . {\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}

Należy zwrócić uwagę na zmianę porządku g {\displaystyle g} i f : {\displaystyle f{:}} aby odwrócić działanie g {\displaystyle g} następującego po f {\displaystyle f} należy najpierw odwrócić f , {\displaystyle f,} a następnie odwrócić g . {\displaystyle g.}

Inwolucje | edytuj kod

Jeżeli X {\displaystyle X} jest dowolnym zbiorem, to funkcja tożsamościowa na X {\displaystyle X} jest swoją własną odwrotnością:

id X 1 = id X . {\displaystyle \operatorname {id} _{X}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}

Ogólniej, jeżeli funkcja f : X X {\displaystyle f\colon X\to X} jest równa swojej odwrotności wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie f f {\displaystyle f\circ f} jest równe id X . {\displaystyle \operatorname {id} _{X}.} Takie funkcje nazywa się inwolucjami.

Zachowywane własności | edytuj kod

  • Funkcja odwrotna do funkcji monotonicznej jest monotoniczna: odwrotna do rosnącej jest rosnąca, zaś odwrotna do malejącej jest malejąca.
  • Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej R R {\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} } jest ciągła.
  • Funkcja odwrotna do funkcji różniczkowalnej f ( x ) {\displaystyle f(x)} jest różniczkowalna wszędzie, z wyjątkiem obrazów punktów, dla których f ( x ) = 0 , {\displaystyle f'(x)=0,} w szczególności ( f 1 ) ( y ) = 1 f ( x ) {\displaystyle (f^{-1})'(y)={\tfrac {1}{f'(x)}}}
  • Dla funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej f {\displaystyle f} jej wykres w kartezjańskim układzie współrzędnych O X Y {\displaystyle OXY} (o równaniu y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} ) jest symetryczny do wykresu funkcji odwrotnej do niej (o równaniu y = f 1 ( x ) {\displaystyle y=f^{-1}(x)} ) względem prostej y = x . {\displaystyle y=x.}

Przypisy | edytuj kod

  1. Przez pomyłkę nadano kilku tysiącom osób ten sam numer PESEL (pol.). wiadomosci.wp.pl. [dostęp 2017-11-08].
Na podstawie artykułu: "Funkcja odwrotna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy