Funkcja produkcji Leontiefa


Funkcja produkcji Leontiefa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Graficzne przedstawienie funkcji

Funkcja produkcji Leontiefafunkcja zaproponowana przez amerykańskiego ekonomistę rosyjskiego pochodzenia, Wassily’ego Leontiefa[1]. Funkcja ta jest przypadkiem brzegowym funkcji produkcji CES, dla której elastyczność substytucji czynników produkcji σ = 0. {\displaystyle \sigma =0.} W funkcji tej nie jest możliwe zastąpienie jednego czynnika drugim. Takie czynniki nazywane są doskonale komplementarnymi[2].

Funkcję Leontiefa można zapisać w następujący sposób:

f ( k , l ) = min ( α k , β l ) , {\displaystyle f(k,l)=\min(\alpha k,\beta l),}

gdzie:

α , β > 0 , {\displaystyle \alpha ,\beta >0,} k {\displaystyle k} – kapitał, l {\displaystyle l} – praca.

Spis treści

Własności funkcji | edytuj kod

Funkcja Leontiefa ma kształt litery „L” i jest nieróżniczkowalna w punkcie, gdzie α k = β l . {\displaystyle \alpha k=\beta l.} Nachylenie prostej, która łączy wierzchołki izokwant dla różnych poziomów produkcji, wyraża się wzorem α β . {\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\beta }}.} Korzyści skali właściwe dla tej funkcji są stałe[3].

Optymalizacja kosztów | edytuj kod

Firma optymalizująca koszty nie będzie marnowała żadnego czynnika, którego cena jest większa od zera. Z tego powodu, aby zminimalizować koszty, będzie operować na poziomie, gdzie produkcja y = α k = β l . {\displaystyle y=\alpha k=\beta l.} Jeżeli firma chce produkować y {\displaystyle y} dóbr, musi użyć y α {\displaystyle {\tfrac {y}{\alpha }}} jednostek czynnika k {\displaystyle k} i y β {\displaystyle {\tfrac {y}{\beta }}} jednostek czynnika l {\displaystyle l} bez względu na ich ceny w 1 {\displaystyle w_{1}} i w 2 . {\displaystyle w_{2}.}

Funkcja kosztów wygląda więc następująco[4]:

c ( w 1 , w 2 , y ) = w 1 y α + w 2 y β = y ( w 1 α + w 2 β ) . {\displaystyle c(w_{1},w_{2},y)={\tfrac {w_{1}y}{\alpha }}+{\tfrac {w_{2}y}{\beta }}=y\left({\tfrac {w_{1}}{\alpha }}+{\tfrac {w_{2}}{\beta }}\right).}

Przykłady | edytuj kod

Firma A świadczy usługi wykonywania wykopów pod fundamenty. Aby wykonać jeden wykop, firma potrzebuje jednego pracownika i jednej koparki – α {\displaystyle \alpha } i β {\displaystyle \beta } są równe 1. Zatem ilość wykopów, jaką firma jest w stanie wykonać, jest równa minimum z liczby pracowników i liczby koparek, jaką dysponuje.

Taką funkcję produkcji można zapisać[5]:

f ( k , l ) = min ( k , l ) , {\displaystyle f(k,l)=\min(k,l),}

gdzie:

k {\displaystyle k} – liczba koparek, l {\displaystyle l} – liczba zatrudnionych pracowników.

Firma B produkuje samochody. Dla uproszczenia, firma używa jedynie czterech opon i jednej kierownicy do wyprodukowania jednego samochodu. Liczbę wyprodukowanych przez firmę B samochodów można przedstawić następująco[6]:

f ( x 1 , x 2 ) = min ( 1 4 x 1 , x 2 ) , {\displaystyle f(x_{1},x_{2})=\min \left({\tfrac {1}{4}}x_{1},x_{2}\right),}

gdzie:

x 1 {\displaystyle x_{1}} – liczba opon, x 2 {\displaystyle x_{2}} – liczba kierownic.

Przypisy | edytuj kod

  1. Allen, R.G.D., Macro-economic Theory: A Mathematical Treatment, London 1968, s. 35.
  2. H.R. Varian, Mikroekonomia. Kurs średni. Ujęcie nowoczesne, Warszawa 1995, s. 340.
  3. Ł. Woźny, Producer theory, w: Lecture Notes on Microeconomics, Szkoła Główna Handlowa w Warszawie, czerwiec 2015.
  4. Hal R. Varian, Microeconomic analysis, wyd. 3rd ed, New York: Norton, 1992, s. 56.
  5. Ł. Woźny, Producer theory, w: Lecture Notes on Microeconomics, Szkoła Główna Handlowa w Warszawie, czerwiec 2015.
  6. Hal R. Varian, Microeconomic analysis, wyd. 3rd ed, New York: Norton, 1992, s. 56.
Na podstawie artykułu: "Funkcja produkcji Leontiefa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy