Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Funkcja wzajemnie jednoznaczna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii To jest najnowsza wersja przejrzana, która została oznaczona 15 lut 2019. Od tego czasu wykonano 1 zmianę, która oczekuje na przejrzenie. Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Bijekcja umożliwia jednoczesne sparowanie wszystkich elementów odwzorowywanych zbiorów.

Funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) – funkcja będąca jednocześnie funkcją różnowartościową i „na”. Innymi słowy, bijekcja to funkcja (relacja) taka, że każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny.

Spis treści

Definicja formalna | edytuj kod

W teorii mnogości bijekcja definiowana jest jako podzbiór f ⊆ X × Y {\displaystyle f\subseteq X\times Y} iloczynu kartezjańskiego zbiorów X {\displaystyle X} i Y , {\displaystyle Y,} który spełnia następujące warunki:

  • ∀ x ∈ X ∃ y ∈ Y x f y . {\displaystyle \forall _{x\in X}\;\exists _{y\in Y}\quad x\;f\;y.}
  • ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X x f y . {\displaystyle \forall _{y\in Y}\;\exists _{x\in X}\quad x\;f\;y.}
  • ∀ x , y ∈ X ∀ z ∈ Y x f z ∧ y f z ⟹ x = y . {\displaystyle \forall _{x,y\in X}\;\forall _{z\in Y}\quad x\;f\;z\land y\;f\;z\implies x=y.}
  • ∀ x ∈ X ∀ y , z ∈ Y x f y ∧ x f z ⟹ y = z . {\displaystyle \forall _{x\in X}\;\forall _{y,z\in Y}\quad x\;f\;y\land x\;f\;z\implies y=z.}

Słownie: każdy element dziedziny musi być w relacji z dokładnie jednym elementem przeciwdziedziny i odwrotnie.

Wnioski | edytuj kod

  • Przeciwdziedzina jest równa obrazowi funkcji, Y = f ( X ) . {\displaystyle Y=f(X).}
  • Funkcja jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja do niej odwrotna – również i ona jest bijekcją.

  • Iniekcyjna funkcja niesurjekcyjna (iniekcja, nie bijekcja)

  • Iniekcyjna surjekcyjna funkcja (bijekcja)

  • Nieinjekcyjna surjekcyjna funkcja (surjekcja, nie bijekcja)

  • Nieinjekcyjna niesurjekcyjna funkcja (również nie bijekcja)

Grupa bijekcji | edytuj kod

 Osobny artykuł: grupa permutacji.

Ponieważ działanie składania bijekcji danego zbioru (na siebie) jest łączne i jest ono automorfizmem, a każda bijekcja posiada jednoznacznie określoną do niej funkcję odwrotną, to wówczas spełnione są aksjomaty grupy. Grupę taką nazywa się grupą bijekcji tego zbioru i są to historycznie pierwsze rozważane grupy.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Funkcja wzajemnie jednoznaczna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy