Grupa permutacji


Grupa permutacji w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Grupa permutacjigrupa wszystkich permutacji ustalonego zbioru skończonego z działaniem składania pełniącym rolę działania grupowego (i tożsamością jako elementem neutralnym; element odwrotny dany jest jako permutacja odwrotna). Liczba elementów (tj. rząd) grupy permutacji zbioru n {\displaystyle n} -elementowego wynosi n ! {\displaystyle n!} (zob. silnia).

Grupy permutacji były punktem wyjścia teorii grup: zaczęto je badać w związku z poszukiwaniem ogólnych rozwiązań równań algebraicznych. Grupy symetryczne o więcej niż dwóch elementach nie są przemienne (abelowe), a o więcej niż czterech elementach nie są rozwiązalne: zgodnie z teorią Galois jest to powód, dla którego równania algebraiczne stopnia większego niż cztery nie mają rozwiązań ogólnych (tzw. twierdzenie Abela-Ruffiniego).

Ogólnie każdą grupę można rozumieć jako grupę permutacji elementów zbioru, na którym została określona (tzw. twierdzenie Cayleya): w związku z tym wszystkie wyniki dotyczące grup permutacji dotyczą również dowolnych grup skończonych[a].

Nazewnictwo i oznaczenia | edytuj kod

Grupy permutacji bywają nazywane również grupami symetrycznymi, choć termin ten należy raczej traktować ogólnie; niektóry autorzy[1] „grupami permutacji” nazywają podgrupy właściwe grupy symetrycznej (tu: wszystkich permutacji danego zbioru). Niekiedy używa się również nazwy grupa bijekcji (funkcji wzajemnie jednoznacznych), jednak zwykle nazwa ta odnosi się do grup przekształceń dowolnych zbiorów (w tym nieskończonych).

Zwykle[2][3][4] grupy permutacji zbioru n {\displaystyle n} -elementowego oznacza się symbolem S n ; {\displaystyle S_{n};} grupy bijekcji zbioru X {\displaystyle X} oznaczane są często[2] S ( X ) , {\displaystyle \mathrm {S} (X),} choć stosuje się też inne oznaczenia, np. B i j ( X ) {\displaystyle \mathrm {Bij} (X)} [5], S y m ( X ) {\displaystyle \mathrm {Sym} (X)} dla grup bijekcji, czy Σ n , {\displaystyle \Sigma _{n},} Π ( n ) {\displaystyle \Pi (n)} [5] dla grupy permutacji.

Przykłady | edytuj kod

Jeśli X = {\displaystyle X=\varnothing } jest zbiorem pustym, to istnieje jedno trywialne uporządkowanie tego zbioru: {\displaystyle \varnothing \to \varnothing } (permutacja pusta). Gdy X = { x } {\displaystyle X=\{x\}} jest zbiorem jednoelementowym, to grupa permutacji znowu zawiera wyłącznie tylko permutację trywialną ( x ) ( x ) . {\displaystyle (x)\mapsto (x).} Jeżeli X = { a , b } {\displaystyle X=\{a,b\}} jest zbiorem dwuelementowym, to istnieją tylko dwie permutacje tego zbioru: ( a , b ) ( a , b ) {\displaystyle (a,b)\mapsto (a,b)} (tożsamość) oraz ( a , b ) ( b , a ) {\displaystyle (a,b)\mapsto (b,a)} (transpozycja).

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. Dotyczy to również ogólnie grup symetrycznych/bijekcji (zob. Nazewnictwo i oznaczenia): wtedy wnioski ich dotyczące rozszerzają się na dowolne grupy (również nieskończone).

Przypisy | edytuj kod

  1. Kurosch A.G.: Gruppentheorie. Berlin: Akademie Verlag, 1953, s. 59–62.
  2. a b Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983, wydanie III, s. 35–37. ​ISBN 83-01-03903-5​.
  3. Serge Lang: Algebra, tłum. Ryszard Bittner, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1973, s. 70.
  4. Jerzy Browkin, Teoria ciał, Biblioteka Matematyczna, tom 49, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 37 i kolejne.
  5. a b Komorowski Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, s. 2–3.
Na podstawie artykułu: "Grupa permutacji" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy