Indeks Szlenka


Indeks Szlenka w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Indeks Szlenka – w analizie funkcjonalnej, dla danej przestrzeni Banacha X , {\displaystyle X,} liczba porządkowa, która w pewnym sensie mierzy, jak bardzo podobne są do siebie topologia wyznaczona przez normę i *-słaba topologia na domkniętej kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej X . {\displaystyle X^{*}.}

Pojęcie wprowadzone w 1968 roku przez Wiesława Szlenka w celu udowodnienia, że nie istnieje uniwersalna (refleksywna) przestrzeń Asplunda dla klasy wszystkich ośrodkowych, refleksywnych przestrzeni Banacha[1].

Spis treści

Konstrukcja | edytuj kod

Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią Asplunda (przestrzeń Banacha jest przestrzenią Asplunda wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń sprzężona do jej dowolnej ośrodkowej podprzestrzeni jest nadal ośrodkowa). Jeżeli ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} oraz K {\displaystyle K} jest *-słabo zwartym podzbiorem przestrzeni sprzężonej X , {\displaystyle X^{*},} to niech

B ε 0 = K . {\displaystyle B_{\varepsilon }^{0}=K.}

Przy użyciu indukcji pozaskończonej definiuje się kolejno zbiory B ε α . {\displaystyle B_{\varepsilon }^{\alpha }.} Jeżeli α = β + 1 , {\displaystyle \alpha =\beta +1,} to

B ε α = B ε β K , {\displaystyle B_{\varepsilon }^{\alpha }=B_{\varepsilon }^{\beta }\setminus \bigcup {\mathcal {K}},}

gdzie K {\displaystyle {\mathcal {K}}} jest rodziną wszystkich *-słabo otwartych podzbiorów B ε β {\displaystyle B_{\varepsilon }^{\beta }} o średnicy nie przekraczającej ε . {\displaystyle \varepsilon .} W przypadku, gdy α {\displaystyle \alpha } jest liczbą graniczną definiuje się

B ε α = β < α B ε β . {\displaystyle B_{\varepsilon }^{\alpha }=\bigcap _{\beta <\alpha }B_{\varepsilon }^{\beta }.}

Wszystkie zbiory zdefiniowane powyżej są *-słabo zwarte. Niech

Sz ε ( K ) = α , {\displaystyle {\mbox{Sz}}_{\varepsilon }(K)=\alpha ,}

gdzie α {\displaystyle \alpha } jest najmniejszą taką liczbą porządkową, że zbiór B ε α {\displaystyle B_{\varepsilon }^{\alpha }} jest pusty. Definicja ta jest poprawna (tj. dla pewnej liczby α {\displaystyle \alpha } zbiór B ε α {\displaystyle B_{\varepsilon }^{\alpha }} jest pusty) z uwagi na założenie, że X {\displaystyle X} jest przestrzenią Asplunda.

Indeks Szlenka zbioru K {\displaystyle K} definiuje się jako liczbę

Sz ( K ) = sup ε > 0 Sz ε ( K ) . {\displaystyle {\mbox{Sz}}(K)=\sup _{\varepsilon >0}{\mbox{Sz}}_{\varepsilon }(K).}

W przypadku, gdy K {\displaystyle K} jest domkniętą kulą jednostkową przestrzeni X {\displaystyle X^{*}} (por. twierdzenie Banacha-Alaoglu), używa się notacji Sz X {\displaystyle {\mbox{Sz}}\,X} i mówi się o indeksie Szlenka przestrzeni X . {\displaystyle X.}

Własności | edytuj kod

  • Jeżeli Y {\displaystyle Y} jest przestrzenią Asplunda oraz przestrzeń X {\displaystyle X} zanurza się izomorficznie w przestrzeń Y , {\displaystyle Y,} to
Sz ( X ) Sz ( Y ) . {\displaystyle {\mbox{Sz}}(X)\leqslant {\mbox{Sz}}(Y).}
  • Jeżeli τ {\displaystyle \tau } jest gęstością przestrzeni X {\displaystyle X} (minimalną mocą zbioru gęstego w X {\displaystyle X} ), to Sz ( X ) < τ + , {\displaystyle {\mbox{Sz}}(X)<\tau ^{+},} przy czym τ + {\displaystyle \tau ^{+}} oznacza najmniejszą liczbę kardynalną większą od τ . {\displaystyle \tau .}
  • Jeżeli X {\displaystyle X} jest przestrzenią Asplunda, to
Sz ( X X ) = Sz ( X ) {\displaystyle {\mbox{Sz}}(X\oplus X)={\mbox{Sz}}(X)} [2].
  • Jeżeli X {\displaystyle X} jest przestrzenią Asplunda, to istnieje taka liczba porządkowa α , {\displaystyle \alpha ,} że Sz ( X ) = ω α . {\displaystyle {\mbox{Sz}}(X)=\omega ^{\alpha }.} W szczególności, jeżeli Sz ( X ) < ω 1 , {\displaystyle {\mbox{Sz}}(X)<\omega _{1},} to α < ω 1 . {\displaystyle \alpha <\omega _{1}.}
  • Jeżeli X {\displaystyle X} jest taką przestrzenią Asplunda oraz Sz X > α {\displaystyle {\mbox{Sz}}\,X>\alpha } dla pewnej przeliczalnej liczby porządkowej α , {\displaystyle \alpha ,} to istnieje taka ośrodkowa domknięta podprzestrzeń Y {\displaystyle Y} przestrzeni X , {\displaystyle X,} że Sz Y > α {\displaystyle {\mbox{Sz}}\,Y>\alpha } [3].

Przykłady | edytuj kod

  • Jeżeli α < ω 1 , {\displaystyle \alpha <\omega _{1},} to przedział liczb porządkowych 0 , ω ω α {\displaystyle [0,\omega ^{\omega ^{\alpha }}]} z topologią porządkową jest zwartą przestrzenią metryzowalną oraz dla dowolnej pary różnych liczb α , β < ω 1 {\displaystyle \alpha ,\beta <\omega _{1}} przestrzenie C ( 0 , ω ω α ) {\displaystyle C([0,\omega ^{\omega ^{\alpha }}])} i C ( 0 , ω ω β ) {\displaystyle C([0,\omega ^{\omega ^{\beta }}])} nie są izomorficzne[4]. Co więcej, mogą być one rozróżnianiane poprzez indeks Szlenka. Dokładniej:
Sz ( C ( 0 , ω ω α ) ) = ω α + 1 {\displaystyle {\mbox{Sz}}(C([0,\omega ^{\omega ^{\alpha }}]))=\omega ^{\alpha +1}} [5].
  • Przestrzeń C ( 0 , α ) {\displaystyle C([0,\alpha ])} jest przestrzenią Asplunda dla dowolnej liczby porządkowej. Jeżeli α ω 1 , ω 1 ω ) , {\displaystyle \alpha \in [\omega _{1},\omega _{1}\cdot \omega ),} to ponadto
Sz ( C ( 0 , α ) ) = ω 1 ω = ω ω 1 + 1 . {\displaystyle {\mbox{Sz}}(C([0,\alpha ]))=\omega _{1}\cdot \omega =\omega ^{\omega _{1}+1}.}

Przypisy | edytuj kod

  1. W. Szlenk, The nonexistence of a separable reflexive Banach space universal for all separable reflexive Banach spaces, Studia Mathematica 30 (1968), s. 53–61.
  2. G. Lancien, On the Szlenk index and the weak-* dentability index, „Quart. J. Math. Oxford” 47 (1996), s. 59–71.
  3. Lancien 1996 ↓, s. Proposition 3.1, s. 61.
  4. C. Bessaga, A. Pełczyński, Spaces of continuous functions (IV), „Studia Mathematica” 19 (1960), s. 53–62.
  5. C. Samuel, Indice de Szlenk des C(K), Seminar on the geometry of Banach spaces, Vol. I, II (Paris, 1983), s. 81–91, Publ. Math. Univ. Paris VII, 18, Univ. Paris VII, Paris, 1984.

Bibliografia | edytuj kod

  • J. Vanderwerff, P. Hájek, S.V. Montesinos, V. Zizler, Biorthogonal Systems in Banach Spaces, Springer-Verlag GmbH, Nowy Jork 2007, ​ISBN 0-387-68914-1​. s. 62–85
Na podstawie artykułu: "Indeks Szlenka" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy