K-rozszerzenie


k-przestrzeń w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z K-rozszerzenie) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

k-przestrzeńprzestrzeń Hausdorffa, która jest obrazem przestrzeni lokalnie zwartej poprzez przekształcenie ilorazowe. Pojęcie k-przestrzeni, przypisywane Witoldowi Hurewiczowi, wprowadził w 1950[1] David Gale. Produkt k-przestrzeni na ogół nie jest k-przestrzenią – odpowiedni kontrprzykład[2] podał Clifford Hugh Dowker.

Spis treści

Własności | edytuj kod

  • Przestrzeń Hausdorffa X {\displaystyle X} jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla domkniętości zbioru A X {\displaystyle A\subseteq X} potrzeba i wystarcza, aby przecięcie A {\displaystyle A} z każdym zwartym podzbiorem X {\displaystyle X} było domknięte (lub równoważnie – zwarte).
  • Przestrzeń Hausdorffa X {\displaystyle X} jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy dla otwartości zbioru A X {\displaystyle A\subseteq X} potrzeba i wystarcza, aby przecięcie A {\displaystyle A} z każdym zwartym podzbiorem X {\displaystyle X} było otwarte.
  • Każda ciągowa przestrzeń Hausdorffa, a więc w szczególności każda przestrzeń Hausdorffa spełniająca drugi aksjomat przeliczalności, jest k-przestrzenią.
  • Podprzestrzenie domknięte oraz otwarte k-przestrzeni są k-przestrzeniami.
  • Suma s S X s {\displaystyle \bigoplus _{s\in S}X_{s}} jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy X s {\displaystyle X_{s}} jest k-przestrzenią dla każdego s S . {\displaystyle s\in S.}
  • Iloczyn kartezjański k-przestrzeni i przestrzeni lokalnie zwartej jest k-przestrzenią.

k-rozszerzenia | edytuj kod

Niech ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} będzie przestrzenią topologiczną. k-rozszerzeniem topologii τ {\displaystyle \tau } nazywamy rodzinę podzbiorów U {\displaystyle U} zbioru X {\displaystyle X} takich, że U K τ {\displaystyle U\cap K\in \tau } dla każdego zbioru zwartego K X . {\displaystyle K\subseteq X.} Rodzina k ( τ ) {\displaystyle k(\tau )} jest również topologią w zbiorze X . {\displaystyle X.} Przestrzeń X {\displaystyle X} z topologią k ( τ ) {\displaystyle k(\tau )} oznacza się symbolem k X {\displaystyle kX} i nazywa się k-rozszerzeniem przestrzeni X . {\displaystyle X.} W topologii, często wykorzystywane bywają następujące rezultaty dotyczące k-przestrzeni:

  • topologia k ( τ ) {\displaystyle k(\tau )} jest mocniejsza od wyjściowej topologii τ , {\displaystyle \tau ,}
  • k k X = k X {\displaystyle kkX=kX} (zob. idempotentność),
  • Twierdzenie D.E. Cohena: Przestrzeń Hausdorffa jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy k X = X {\displaystyle kX=X} [3].

k-ciągłość | edytuj kod

Niech X , Y {\displaystyle X,Y} będą przestrzeniami topologicznymi. Funkcję f : X Y {\displaystyle f\colon X\to Y} nazywamy k-ciągłą, gdy f | K {\displaystyle f|_{K}} jest ciągła dla każdego zbioru zwartego K X . {\displaystyle K\subseteq X.} Jeśli symbole C ( X , Y ) {\displaystyle C(X,Y)} i C k ( X , Y ) {\displaystyle C_{k}(X,Y)} oznaczają rodziny przekształceń ciągłych i k-ciągłych między przestrzeniami X {\displaystyle X} i Y , {\displaystyle Y,} to

  • X {\displaystyle X} jest k-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy C ( X , Y ) = C k ( X , Y ) {\displaystyle C(X,Y)=C_{k}(X,Y)} dla każdej przestrzeni topologicznej Y {\displaystyle Y} [4].

Przykłady | edytuj kod

  • R { 1 2 , 1 3 , } {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots \}} (z topologią dziedziczoną z prostej rzeczywistej) jest k-przestrzenią.

k3-przestrzenie | edytuj kod

Przestrzeń topologiczna X {\displaystyle X} nazywana jest k3-przestrzenią, gdy C ( X , Y ) = C k ( X , Y ) {\displaystyle C(X,Y)=C_{k}(X,Y)} dla każdej przestrzeni regularnej Y . {\displaystyle Y.} Wprost z definicji wynika, że każda k-przestrzeń jest k3-przestrzenią. Przeciwna implikacja jest jednak fałszywa. Produkt nieprzeliczalnie wielu kopii prostej rzeczywistej (która nie jest k-przestrzenią) jest k3-przestrzenią.

Przypisy | edytuj kod

  1. David Gale: Compact sets o functions and function rings. Proc. Amer. Soc. 1, 1950, s. 303–308.
  2. Clifford Hugh Dowker: Topology of metric complexes. Amer. Journ. of Math. 74, 1952, s. 555–577.
  3. D.E. Cohen, Spaces with weak topology, Quart. J. Math., Oxford Ser. (2) 5 (1954), s. 77–80.
  4. Pedro Morales, Non-Hausdorff Ascoli theory, Dissertationes Math. 119 (1974), s. 1–37.

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "K-rozszerzenie" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy