Krzywa Watta

Krzywa Watta w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Krzywa Watta – krzywa algebraiczna szóstego rzędu. James Watt był zainteresowany tego rodzaju krzywymi przy okazji prac nad silnikiem parowym.

( ( x 2 + y 2 ) 2 + 4 y 2 − a 2 ( x 2 + y 2 ) ) ( x 2 + y 2 − a 2 ) = ( b 2 − 1 ) ( x 2 + y 2 ) ( 2 a 2 + 1 − 2 ( x 2 + y 2 ) − b 2 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}&((x^{2}+y^{2})^{2}+4y^{2}-a^{2}(x^{2}+y^{2}))(x^{2}+y^{2}-a^{2})\\[1ex]={}&(b^{2}-1)(x^{2}+y^{2})(2a^{2}+1-2(x^{2}+y^{2})-b^{2}),\end{aligned}}} gdzie a = d 2 4 r 2 {\displaystyle a={\tfrac {d^{2}}{4r^{2}}}} oraz b = l 2 d 2 . {\displaystyle b={\tfrac {l^{2}}{d^{2}}}.} r 2 = b 2 − ( a sin ⁡ t ± c 2 − a 2 cos 2 ⁡ t ) 2 . {\displaystyle r^{2}=b^{2}-(a\sin t\pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}t}})^{2}.}

Krzywa Watta ma genus rzędu 1 z niezmiennikiem j danym wzorem

j = 256 ( ( b 2 − 1 ) 4 − 2 a 2 ( b 2 + 1 ) ( b 2 − 1 ) 2 + a 4 ( b 4 − b 2 + 1 ) ) 3 a 8 b 4 ( b 2 − 1 ) 2 ( ( a + b ) 2 − 1 ) ( ( a − b ) 2 − 1 ) . {\displaystyle j={\tfrac {256((b^{2}-1)^{4}-2a^{2}(b^{2}+1)(b^{2}-1)^{2}+a^{4}(b^{4}-b^{2}+1))^{3}}{a^{8}b^{4}(b^{2}-1)^{2}((a+b)^{2}-1)((a-b)^{2}-1)}}.}

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Krzywa Watta" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy