Liczba Poissona


Liczba Poissona w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Sześcian o krawędziach długości L {\displaystyle L} wykonany z izotropowego liniowo sprężystego materiału, o współczynniku Poissona równym 0,5, poddany obciążeniu w kierunku x . {\displaystyle x.} Zielona kostka pokazuje stan początkowy, czerwona rozciągnięta pod wpływem przyrostu obciążenia na kierunku x {\displaystyle x} -owym o długość Δ L {\displaystyle \Delta L} oraz równocześnie skrócona na kierunku y {\displaystyle y} i z {\displaystyle z} o długość Δ L . {\displaystyle \Delta L'.}

Współczynnik (liczba) Poissona ( ν ) {\displaystyle (\nu )} – stosunek odkształcenia poprzecznego do odkształcenia podłużnego przy jednoosiowym stanie naprężenia.

Jednoosiowy stan naprężenia to stan reprezentowany tylko przez jedno niezerowe naprężenie główne.

Współczynnik Poissona jest wyrażony bezjednostkowo - znaczy to, że jest wielkością bezwymiarową, nie określa sprężystości materiału, a jedynie sposób, w jaki się on odkształca.

Jeżeli w przypadku materiału izotropowego w rozpatrywanym punkcie ciała wyróżnimy kierunek m {\displaystyle m} i jeżeli w tym punkcie jedynie naprężenie σ m 0 {\displaystyle \sigma _{m}\neq 0} (zaś pozostałe składowe naprężenia są równe zero), to współczynnik Poissona:

ν = ε n ε m , {\displaystyle \nu =-{\frac {\varepsilon _{n}}{\varepsilon _{m}}},}

gdzie:

ε {\displaystyle \varepsilon } odkształcenie, n {\displaystyle n} – dowolny kierunek prostopadły do m . {\displaystyle m.}

Jeżeli pręt o średnicy d {\displaystyle d} (lub dowolnym innym stałym przekroju) i długości L {\displaystyle L} zostanie poddany jednoosiowemu rozciąganiu tak, że wydłuży się o Δ L , {\displaystyle \Delta L,} to jego średnica zmieni się (zmniejszy się, stąd dla uniknięcia wartości ujemnych współczynnika znak minus we wzorze) o:

Δ d = d ν Δ L L , {\displaystyle \Delta d=-d\cdot \nu {\frac {\Delta L}{L}},} ν = Δ d d L Δ L . {\displaystyle \nu =-{\frac {\Delta d}{d}}{\frac {L}{\Delta L}}.}

Wzór ten jest słuszny w przypadku małych odkształceń. Jeżeli odkształcenia są znaczne (patrz: duże odkształcenia), to dokładniejsze wyniki daje wzór (w założeniu ν = const {\displaystyle \nu ={\text{const}}} ):

Δ d = d ( 1 ( 1 + Δ L L ) ν ) . {\displaystyle \Delta d=-d\cdot \left(1-{\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)}^{-\nu }\right).}

Powyższe wzory są jednym ze sposobów bezpośredniego wyznaczenia współczynnika Poissona w statycznej próbie rozciągania, chociaż ze względu na niewielkie odkształcenia jest to metoda niedokładna.

Ze względu na zależność opisującą stosunek współczynnika Poissona do modułu Younga i modułu Helmholtza można określić, że[1][2]:

1 ν 1 2 . {\displaystyle -1\leqslant \nu \leqslant {\frac {1}{2}}.}

W przypadku dwuwymiarowej sprężystości relacja ta przybiera postać:

1 ν 0 , 5. {\displaystyle -1\leqslant \nu \leqslant 0{,}5.}

Nazwa współczynnika pochodzi od nazwiska Siméon Denis Poissona (1781–1840), francuskiego matematyka.

Metodę określania współczynnika Poissona przedstawia norma ASTM E-132.

Współczynnik Poissona można również wyznaczyć, przekształcając równianie wiążące ten współczynnik z modułem Younga

E = 2 G ( ν + 1 ) , {\displaystyle E=2G\cdot (\nu +1),}

gdzie:

E {\displaystyle E} moduł Younga, G {\displaystyle G} moduł Kirchhoffa, ν {\displaystyle \nu } – Liczba Poissona.

Po przekształceniach uzyskujemy równanie:

ν = E 2 G 2 G . {\displaystyle \nu ={\frac {E-2G}{2G}}.} Rozciąganie kostki z materiału o ujemnym współczynniku Poissona. Przykład auksetyku.

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. Finding Young’s Modulus and Poisson’s Ratio (ang.). [dostęp 2010-05-19].
  2. Lew Landau, Jewgienij Lifszyc: Teoria sprężystości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, seria: Fizyka Teoretyczna.
Na podstawie artykułu: "Liczba Poissona" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy