Macierz diagonalna


Macierz diagonalna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Macierz diagonalnamacierz, zwykle kwadratowa[a], której wszystkie współczynniki leżące poza główną przekątną (główną diagonalą) są zerowe. Inaczej mówiąc jest to macierz górno- i dolnotrójkątna jednocześnie.

Spis treści

Definicja | edytuj kod

Macierz kwadratową A = ( a i j ) {\displaystyle \mathbf {A} =(a_{ij})} stopnia n {\displaystyle n} nazywa się diagonalną, jeżeli

a i j = 0  dla  i j ,  gdzie  i , j = 1 , 2 , , n . {\displaystyle a_{ij}=0{\mbox{ dla }}i\neq j,{\mbox{ gdzie }}i,j=1,2,\dots ,n.}

Często oznacza się ją symbolem d i a g ( d 1 , d 2 , , d n ) , {\displaystyle \mathrm {diag} (d_{1},d_{2},\dots ,d_{n}),} gdzie d i = a i i {\displaystyle d_{i}=a_{ii}} są kolejnymi współczynnikami leżącymi na głównej przekątnej.

Przykłady | edytuj kod

Przykładem macierzy diagonalnej jest macierz

3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 = d i a g ( 3 , 1 , 0 , 4 ) . {\displaystyle {\begin{bmatrix}-3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&4\end{bmatrix}}=\mathrm {diag} (-3,1,0,4).}

Macierzami diagonalnymi są również:

Własności | edytuj kod

Macierze diagonalne stopnia n {\displaystyle n} tworzą podpierścień pierścienia wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n . {\displaystyle n.} Oznacza to m.in., że suma i iloczyn (Cauchy’ego) macierzy diagonalnych jest macierzą diagonalną.

Stąd dla macierzy

A = d i a g ( a 1 , a 2 , , a n ) {\displaystyle \mathbf {A} =\mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}

oraz

B = d i a g ( b 1 , b 2 , , b n ) {\displaystyle \mathbf {B} =\mathrm {diag} (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}

zachodzą działania

A + B = d i a g ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , , a n + b n ) , {\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathrm {diag} (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ,a_{n}+b_{n}),} A B = d i a g ( a 1 b 1 , a 2 b 2 , , a n b n ) . {\displaystyle \mathbf {AB} =\mathrm {diag} (a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\dots ,a_{n}b_{n}).}

Zatem potęgowanie macierzy diagonalnej o wykładniku naturalnym k {\displaystyle k} sprowadza się do potęgowania elementów tej macierzy:

d i a g ( d 1 , d 2 , , d n ) k = d i a g ( d 1 k , d 2 k , , d n k ) . {\displaystyle \mathrm {diag} (d_{1},d_{2},\dots ,d_{n})^{k}=\mathrm {diag} (d_{1}^{k},d_{2}^{k},\dots ,d_{n}^{k}).}

Wyznacznik (o ile jest zdefiniowany) macierzy diagonalnej jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej, jeżeli jest on elementem odwracalnym (dla liczb wymiernych, rzeczywistych, czy zespolonych, lub ogólniej, ciał: niezerowy), to macierz diagonalna jest nieosobliwa. Macierz dołączona do macierzy diagonalnej również jest diagonalna.

Macierz diagonalna jest odwracalna, jeżeli każdy jej element jest odwracalny (jw.). Wówczas wzór na macierz odwrotną macierzy diagonalnej jest analogiczny do wzoru na jej potęgowanie:

d i a g ( d 1 , d 2 , , d n ) 1 = d i a g ( d 1 1 , d 2 1 , , d n 1 ) . {\displaystyle \mathrm {diag} (d_{1},d_{2},\dots ,d_{n})^{-1}=\mathrm {diag} (d_{1}^{-1},d_{2}^{-1},\dots ,d_{n}^{-1}).}

Każda macierz diagonalna jest symetryczna, jeżeli zaś jej elementy należą do liczb rzeczywistych bądź zespolonych, to jest ona również normalna. Macierz kwadratowa jest diagonalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest trójkątna i normalna.

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. W niektórych źródłach pojęcie macierzy diagonalnej wprowadza się wśród macierzy prostokątnych. Por. Gleichgewicht 2002 ↓, s. 120.

Bibliografia | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Macierz diagonalna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy