Macierz hermitowska


Macierz hermitowska w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Macierz hermitowska (albo samosprzężona) – macierz kwadratowa A = a i j {\displaystyle A=[a_{ij}]} równa swojemu sprzężeniu hermitowskiemu, tj. macierz spełniająca warunek

a i j = a j i ¯ . {\displaystyle [a_{ij}]=[{\overline {a_{ji}}}].}

Nieskończenie wymiarowym uogólnieniem macierzy hermitowskiej jest operator samosprzężony (hermitowski).

Szczególnym przypadkiem macierzy hermitowskich są rzeczywiste macierze symetryczne.

Spis treści

Przykłady | edytuj kod

Macierze hermitowskie 2 × 2 | edytuj kod

  • macierze symetryczne rzeczywiste, tj. a b b c , a , b , c R , {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}},\;a,b,c\in \mathbb {R} ,\;{}} np. 1 2 2 7 {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\2&7\end{bmatrix}}}
  • macierze zespolone, np. 1 i i 1 , 2 i i 1 {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-i\\i&1\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}2&-i\\i&1\end{bmatrix}}}
σ 1 = 0 1 1 0 , σ 2 = 0 i i 0 , σ 3 = 1 0 0 1 {\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}
  • macierz zbudowana z macierzy Pauliego
H ( x , y , z ) = x σ 1 + y σ 2 + z σ 3 = z x i y x + i y z {\displaystyle H(x,y,z)=x\sigma _{1}+y\sigma _{2}+z\sigma _{3}={\begin{bmatrix}z&x-iy\\x+iy&-z\end{bmatrix}}}

Macierze hermitowskie 3 × 3 | edytuj kod

  • macierze symetryczne rzeczywiste, tj.
a b c b d e c e f , a , b , c , d , e , f R , {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{bmatrix}},\;a,b,c,d,e,f\in \mathbb {R} ,\;{}} np. 1 2 4 2 7 0 4 0 3 {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&4\\2&7&0\\4&0&-3\end{bmatrix}}}
  • A = 2 1 2 i i 1 + 2 i 2 3 + 2 i i 3 2 i 5 . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}.}
Macierz ta jest hermitowska, ponieważ: A = ( 2 1 2 i i 1 + 2 i 2 3 + 2 i i 3 2 i 5 T ) = 2 1 2 i i 1 + 2 i 2 3 + 2 i i 3 2 i 5 = A {\displaystyle A^{\dagger }=\left({\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}^{T}\right)^{*}={\begin{bmatrix}2&1-2i&i\\1+2i&-2&3+2i\\-i&3-2i&5\end{bmatrix}}=A}

Macierze hermitowskie 4 × 4 | edytuj kod

γ 0 = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}

Ogólna postać macierzy hermitowskiej. Algebry Liego | edytuj kod

Macierze hermitowskie wymiaru n × n {\displaystyle n\times n} mają na przekątnej liczby rzeczywiste p 1 , p 2 , , p n R , {\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\in \mathbb {R} ,} a wyrazy poza przekątną są w ogólności zespolone i takie, że wyrazy leżące symetrycznie względem przekątnej są liczbami zespolonymi wzajemnie sprzężonymi.

Macierze hermitowskie wymiaru n × n {\displaystyle n\times n} mają ogólną postać

p 1 a b a ¯ p 2 c b ¯ c ¯ p 3 , p 1 , p 2 , p 3 , R , a , b , c , C , {\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{1}&a&b&\cdots \\{\overline {a}}&p_{2}&c&\cdots \\{\overline {b}}&{\overline {c}}&p_{3}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2},p_{3},\dots \in \mathbb {R} ,a,b,c,\dots \in \mathbb {C} ,}

gdzie a ¯ , b ¯ , c ¯ , {\displaystyle {\overline {a}},{\overline {b}},{\overline {c}},\dots } – sprzężenia zespolone liczb a , b , c , {\displaystyle a,b,c,\dots }

Macierze te zależą w ogólności od n 2 {\displaystyle n^{2}} parametrów rzeczywistych i tworzą przestrzeń wektorową n 2 {\displaystyle n^{2}} – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru n × n {\displaystyle n\times n} zależą od n 2 1 {\displaystyle n^{2}-1} parametrów (warunek T r ( A ) = 0 {\displaystyle Tr(A)=0} daje jedno dodatkowe równanie, które pozwala obliczyć jeden z parametrów w zależności od pozostałych) i tworzą podprzestrzeń, która jest algebrą Liego s u ( n ) . {\displaystyle su(n).} Powyższe stwierdzenia omówimy na przykładach.

Macierze hermitowskie 2 × 2 | edytuj kod

– mają ogólną postać

p 1 a a ¯ p 2 , p 1 , p 2 R , {\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{1}&a\\{\overline {a}}&p_{2}\end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2}\in \mathbb {R} ,}

gdzie:

  • a = x a + i y a , {\displaystyle a=x_{a}+iy_{a},}
  • a ¯ = x a i y a {\displaystyle {\overline {a}}=x_{a}-iy_{a}} – sprzężenie zespolone liczby a . {\displaystyle a.}

Widać, że macierze te w ogólności zależą od 4 parametrów x a , y a , p 1 , p 2 {\displaystyle x_{a},y_{a},p_{1},p_{2}} i tworzą przestrzeń wektorową 4- wymiarową.

Macierze bezśladowe tworzą podprzestrzeń 2 2 1 = 3 {\displaystyle 2^{2}-1=3} – wymiarową, która jest algebrą Liego su(2). Bazą tej przestrzeni są np. macierze Pauliego.

Macierze hermitowskie 3 × 3 | edytuj kod

– mają ogólną postać

p 1 a b a ¯ p 2 c b ¯ c ¯ p 3 , p 1 , p 2 , p 3 R , a , b , c C . {\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{1}&a&b\\{\overline {a}}&p_{2}&c\\{\overline {b}}&{\overline {c}}&p_{3}\end{bmatrix}},\;p_{1},p_{2},p_{3}\in \mathbb {R} ,a,b,c\in \mathbb {C} .}

Macierze te zależą w ogólności od 3 2 = 9 {\displaystyle 3^{2}=9} parametrów rzeczywistych (3 liczby na przekątnej, 3 części rzeczywiste i 3 zespolone liczb a , b , c {\displaystyle a,b,c} ) i tworzą przestrzeń wektorową 9 {\displaystyle 9} – wymiarową. Macierze bezśladowe wymiaru 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} zależą od 3 2 1 = 8 {\displaystyle 3^{2}-1=8} parametrów i tworzą podprzestrzeń 8 {\displaystyle 8} -wymiarową, która jest algebrą Liego su(3). Generatorami tej algebry są np. macierze Gell-Manna.

Własności | edytuj kod

Dowód: Niech λ {\displaystyle \lambda } będzie wartością własną macierzy A , {\displaystyle A,} tj. A x = λ x {\displaystyle Ax=\lambda x} dla pewnego niezerowego wektora x . {\displaystyle x.} Wówczas λ x , x = λ x , x = A x , x = x , A x = x , λ x = λ ¯ x , x , {\displaystyle \lambda \langle x,x\rangle =\langle \lambda x,x\rangle =\langle Ax,x\rangle =\langle x,Ax\rangle =\langle x,\lambda x\rangle ={\overline {\lambda }}\langle x,x\rangle ,} co dowodzi, że λ {\displaystyle \lambda } jest liczbą rzeczywistą, ponieważ λ = λ ¯ . {\displaystyle \lambda ={\overline {\lambda }}.} Dowód: Niech λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} i λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}} będą różnymi wartościami własnymi macierzy A {\displaystyle A} dla pewnych wektorów, kolejno x 1 {\displaystyle x_{1}} i x 2 , {\displaystyle x_{2},} tj. A x 1 = λ 1 x 1 {\displaystyle Ax_{1}=\lambda _{1}x_{1}} oraz A x 2 = λ 2 x 2 . {\displaystyle Ax_{2}=\lambda _{2}x_{2}.} Wówczas: λ 2 x 1 , x 2 = x 1 , λ 2 x 2 = x 1 , A x 2 = A x 1 , x 2 = λ 1 x 1 , x 2 = λ 1 x 1 , x 2 , {\displaystyle \lambda _{2}\langle x_{1},x_{2}\rangle =\langle x_{1},\lambda _{2}x_{2}\rangle =\langle x_{1},Ax_{2}\rangle =\langle A^{\dagger }x_{1},x_{2}\rangle =\langle \lambda _{1}^{*}x_{1},x_{2}\rangle =\lambda _{1}^{*}\langle x_{1},x_{2}\rangle ,} ponieważ wartości własne są rzeczywiste, a więc λ 1 = λ 1 . {\displaystyle \lambda _{1}^{*}=\lambda _{1}.} Stąd: λ 2 x 1 , x 2 = λ 1 x 1 , x 2 ( λ 2 λ 1 ) x 1 , x 2 = 0 , {\displaystyle \lambda _{2}\langle x_{1},x_{2}\rangle =\lambda _{1}\langle x_{1},x_{2}\rangle \Rightarrow (\lambda _{2}-\lambda _{1})\langle x_{1},x_{2}\rangle =0,} ponieważ λ 2 λ 1 {\displaystyle \lambda _{2}\neq \lambda _{1}} (macierz niezdegenerowana), x 1 , x 2 = 0 , {\displaystyle \langle x_{1},x_{2}\rangle =0,} a więc wektory x 1 {\displaystyle x_{1}} i x 2 {\displaystyle x_{2}} są ortogonalne.
  • Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty.
  • Macierz hermitowska o wyrazach rzeczywistych jest macierzą symetryczną.

Formy hermitowskie | edytuj kod

Formę g {\displaystyle g} na zespolonej przestrzeni liniowej V {\displaystyle V} nazywa się hermitowską jeżeli

  1. g ( a 1 ξ 1 + a 2 ξ 2 , ϑ ) = a 1 g ( ξ 1 , ϑ ) + a 2 g ( ξ 2 , ϑ ) ( a 1 , a 2 C , ξ 1 , ξ 2 , ϑ V ) {\displaystyle g(a_{1}\xi _{1}+a_{2}\xi _{2},\vartheta )=a_{1}g(\xi _{1},\vartheta )+a_{2}g(\xi _{2},\vartheta )\quad (a_{1},a_{2}\in \mathbb {C} ,\xi _{1},\xi _{2},\vartheta \in V)}
  2. g ( ξ , ϑ ) = g ( ϑ , ξ ) ¯ ( ξ , ϑ V ) . {\displaystyle g(\xi ,\vartheta )={\overline {g(\vartheta ,\xi )}}\quad (\xi ,\vartheta \in V).}

Formy hermitowskie są we wzajemnej jednoznaczności z macierzami hermitowskimi: macierz formy hermitowskiej jest hermitowska. Z drugiej strony, jeżeli A {\displaystyle A} jest n {\displaystyle n} -wymiarową macierzą hermitowską, to wzór

g ( ξ , ϑ ) = ξ A ϑ T ( ξ , ϑ C n ) {\displaystyle g(\xi ,\vartheta )=\xi A\vartheta ^{T}\quad (\xi ,\vartheta \in \mathbb {C} ^{n})}

definiuje formę hermitowską w przestrzeni C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} (symbol ϑ T {\displaystyle \vartheta ^{T}} oznacza postać kolumnową wektora poziomego ϑ {\displaystyle \vartheta } ).

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Macierz hermitowska" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy