Macierz idempotentna


Macierz idempotentna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Macierz idempotentnamacierz kwadratowa A M n ( K ) {\displaystyle A\in M_{n}(\mathbb {K} )} spełniająca równość: A 2 = A . {\displaystyle A^{2}=A.}

Przykłady | edytuj kod

  • 1 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}1\end{matrix}}\right]}
  • 2 1 2 1 , 1 0 0 1 , 1 0 0 0 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1\\2&-1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}}\right]}
  • 2 2 4 1 3 4 1 2 3 , 1 2 4 1 2 4 1 2 4 , 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , 1 0 0 0 0 0 0 0 1 {\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}-1&-2&4\\-1&-2&4\\-1&-2&4\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]}

Własności | edytuj kod

  • Każda macierz jednostkowa jest idempotentna. Jeśli macierz idempotentna nie jest jednostkowa, to jest osobliwa.
  • Wartości własne macierzy idempotentnej są równe zeru lub jedności. Wielomian charakterystyczny macierzy idempotentnej A {\displaystyle A} jest postaci F A ( λ ) = ( 1 λ ) i λ j . {\displaystyle F_{A}(\lambda )=(1-\lambda )^{i}\cdot \lambda ^{j}.}
  • Każdą macierz idempotentną można zdiagonalizować do postaci
I i × i Θ i × j Θ j × i Θ j × j . {\displaystyle \left[{\begin{matrix}I_{i\times i}&\Theta _{i\times j}\\\Theta _{j\times i}&\Theta _{j\times j}\end{matrix}}\right].} W powyższej postaci klatkowej macierz I {\displaystyle I} jest (kwadratową) macierzą jednostkową, macierze Θ {\displaystyle \Theta } macierzami zerowymi odpowiednich wymiarów.
Oczywiście każda macierz powyższej postaci jest macierzą idempotentną.
  • Jeśli A {\displaystyle A} jest macierzą idempotentną, to dla dowolnej macierzy nieosobliwej C {\displaystyle C} macierz C A C 1 {\displaystyle CAC^{-1}} też jest macierzą idempotentną.

Ponadto

Każda macierz idempotentna jest macierzą pewnego rzutu w przestrzeni liniowej.

Zobacz też | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Macierz idempotentna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy