Macierz transponowana


Macierz transponowana w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Macierz transponowana (przestawiona) macierzy A {\displaystyle A} – macierz A T , {\displaystyle A^{\mathrm {T} },} która powstaje z danej macierzy (w ogólności prostokątnej, w szczególności jednowierszowej czy o jednej kolumnie) poprzez zamianę jej wierszy na kolumny i kolumn na wiersze[1]. Operację tworzenia macierzy transponowanej nazywa się transpozycją (przestawianiem).

Jeżeli macierz A {\displaystyle A} ma wyrazy a i j {\displaystyle a_{ij}} (element a i j {\displaystyle a_{ij}} macierzy znajdujący się na przecięciu i {\displaystyle i} -tego wiersza i j {\displaystyle j} -tej kolumny), a macierz transponowana A T {\displaystyle A^{\mathrm {T} }} ma wyrazy a i j T , {\displaystyle a_{ij}^{\mathrm {T} },} to zachodzi związek

a i j T = a j i . {\displaystyle a_{ij}^{\mathrm {T} }=a_{ji}.}

Spis treści

Przykład | edytuj kod

(1) Transponować można macierz w ogólności prostokątną, np. gdy

A = 2 3 1 4 1 2 0 1 2 2 0 1 {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&1&4\\-1&2&0&1\\2&2&0&1\end{bmatrix}}}

to macierz transponowana ma postać:

A T = 2 1 2 3 2 2 1 0 0 4 1 1 . {\displaystyle A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}2&-1&2\\3&2&2\\1&0&0\\4&1&1\end{bmatrix}}.}

(2) W szczególności wektor kolumnowy przechodzi w wektor wierszowy, np. gdy

A = 2 1 5 , {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2\\1\\5\end{bmatrix}},}

to

A T = 2 , 1 , 5 . {\displaystyle A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}2,1,5\end{bmatrix}}.}

Transpozycja macierzy symetrycznej | edytuj kod

Macierz symetryczna[2] – macierz ta ma identyczne wyrazy leżące symetrycznie względem swojej przekątnej głównej, np.

7 0 0 0 , 2 1 3 1 6 7 3 7 9 . {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&0\\0&0\end{bmatrix}},\quad {\begin{bmatrix}2&1&3\\1&6&7\\3&7&9\end{bmatrix}}.}

Transpozycja macierzy symetrycznej jest równa tej macierzy, tj.

A T = A . {\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A.}

Własności operacji transponowania | edytuj kod

Tw. 1. Niech A , B M n × m ( K ) , {\displaystyle A,B\in M_{n\times m}(K),} wówczas:

  • ( A T ) T = A {\displaystyle (A^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }=A} [3],
  • ( α A ) T = α A T , α K , {\displaystyle (\alpha A)^{\mathrm {T} }=\alpha A^{\mathrm {T} },\quad \alpha \in K,}
  • ( A + B ) T = A T + B T . {\displaystyle (A+B)^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }+B^{\mathrm {T} }.}

Tw. 2. Jeśli A M n × m ( K ) ,     B M m × o ( K ) , {\displaystyle A\in M_{n\times m}(K),\ \ B\in M_{m\times o}(K),} to:

  • ( A B ) T = B T A T . {\displaystyle (AB)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }.}

Tw. 3. Dla macierzy kwadratowej: Transpozycja nie zmienia wyznacznika ani śladu macierzy, tj.

  • det A T = det A , {\displaystyle \det A^{\mathrm {T} }=\det A,}
  • tr ( A T ) = tr ( A ) . {\displaystyle \operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {tr} (A).}

Zobacz też | edytuj kod

Przypisy | edytuj kod

  1. g, Transpose, chortle.ccsu.edu [dostęp 2018-03-17]  (ang.).
  2. g, Symmetric, chortle.ccsu.edu [dostęp 2018-03-17]  (ang.).
  3. g, A Rule for Transpose, chortle.ccsu.edu [dostęp 2018-03-17]  (ang.).

Bibliografia | edytuj kod

  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.
Na podstawie artykułu: "Macierz transponowana" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy