Miara bezatomowa


Miara bezatomowa w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Miara bezatomowa – taka miara, że dowolny zbiór miary dodatniej można podzielić na dwa podzbiory miary dodatniej.

Spis treści

Własności | edytuj kod

Dla każdego μ {\displaystyle \mu } -mierzalnego zbioru A {\displaystyle A} można skonstruować zstępującą rodzinę zbiorów A = A 1 A 2 A 3 {\displaystyle A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots } taką, że

μ ( A ) = μ ( A 1 ) > μ ( A 2 ) > μ ( A 3 ) > > 0. {\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.}

jeśli miara nie jest bezatomowa to konstrukcja taka (dla pewnych zbiorów A) nie jest możliwa.

Dla miar bezatomowych prawdziwe jest także twierdzenie:

Dla dowolnego zbioru mierzalnego A {\displaystyle A} takiego, że μ ( A ) > 0 {\displaystyle \mu (A)>0} i dla każdej liczby rzeczywistej 0 < b < μ ( A ) {\displaystyle 0<b<\mu (A)} istnieje taki podzbiór B A , {\displaystyle B\subsetneq A,} że μ ( B ) = b . {\displaystyle \mu (B)=b.}

Skąd można wnioskować, że μ {\displaystyle \mu } przyjmuje nieprzeliczanie wiele wartości.

Uogólnienie | edytuj kod

Definicję miary bezatomowej można rozszerzyć na σ-addytywne funkcje zbiorów o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych. Będziemy je dalej nazywać miarami rzeczywistymi.

Definicja | edytuj kod

Niech M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} będzie σ-ciałem, miarę rzeczywistą μ {\displaystyle \mu } określona na M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} nazywamy bezatomową, jeśli dla każdego zbioru A M {\displaystyle A\in {\mathfrak {M}}} takiego, że | μ | ( A ) > 0 , {\displaystyle |\mu |(A)>0,} istnieje M E A {\displaystyle {\mathfrak {M}}\ni E\subseteq A} taki, że 0 < | μ | ( E ) < | μ | ( A ) . {\displaystyle 0<|\mu |{(E)}<|\mu |(A).} Przez | μ | {\displaystyle |\mu |} oznaczamy wahanie całkowite miary rzeczywistej μ . {\displaystyle \mu .}

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Miara bezatomowa" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy