Miara spektralna


Miara spektralna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Spis treści

Miara spektralna – przeliczalnie addytywna miara wektorowa, określona na σ-ciele podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej o wartościach w zbiorze operatorów rzutowych pewnej ośrodkowej przestrzeni Hilberta, przyporządkowująca całej przestrzeni operator jednostkowy. John von Neumann zbudował współczesną mechanikę kwantową na teorii miar spektralnych.

Definicja | edytuj kod

Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią topologiczną, M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} σ-ciałem podzbiorów tej przestrzeni. Dalej, niech H {\displaystyle H} będzie ośrodkową przestrzenią Hilberta i niech L ( H ) {\displaystyle L(H)} oznacza przestrzeń operatorów liniowych i ciągłych przestrzeni H . {\displaystyle H.}

Funkcję E : M L ( H ) {\displaystyle E\colon {\mathfrak {M}}\to L(H)} nazywamy miarą spektralną w przestrzeni X {\displaystyle X} wtedy i tylko wtedy, gdy:

  1. E ( B ) {\displaystyle E(B)} jest operatorem rzutowym dla B M . {\displaystyle B\in {\mathfrak {M}}.}
  2. E ( X ) = I , {\displaystyle E(X)=I,}
  3. E ( B 1 B 2 ) = E ( B 1 ) E ( B 2 ) , B 1 , B 2 M {\displaystyle E(B_{1}\cap B_{2})=E(B_{1})\circ E(B_{2}),\;B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {M}}}
  4. Funkcja B E ( B ) x , x H , B M {\displaystyle B\mapsto E(B)x,\;x\in H,\;B\in {\mathfrak {M}}} jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową.

Własności | edytuj kod

  • Gdy B 1 , B 2 M {\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathfrak {M}}} oraz B 1 B 2 , {\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2},} to E ( B 1 ) E ( B 2 ) {\displaystyle E(B_{1})\leqslant E(B_{2})} w sensie ( E ( B 1 ) h | h ) ( E ( B 2 ) h | h ) , h H . {\displaystyle (E(B_{1})h|h)\leqslant (E(B_{2})h|h),\;h\in H.} Ponieważ E ( B 1 ) h 2 = ( E ( B 1 ) h | h ) , {\displaystyle \|E(B_{1})h\|^{2}=(E(B_{1})h|h),} więc z powyższego wynika, że E ( B 1 ) H E ( B 2 ) H {\displaystyle E(B_{1})H\subseteq E(B_{2})H} – operator E ( B 1 ) {\displaystyle E(B_{1})} rzutuje na podprzestrzeń zawartą w podprzestrzeni E ( B 2 ) H . {\displaystyle E(B_{2})H.}
  • Jeżeli h , k H {\displaystyle h,k\in H} oraz B M , {\displaystyle B\in {\mathfrak {M}},} to równość E h , k ( B ) := ( E ( B ) h | k ) {\displaystyle E_{h,k}(B):=(E(B)h|k)} określa przeliczalnie addytywną miarę wektorową o wahaniu ograniczonym przez h k . {\displaystyle \|h\|\|k\|.}

Przykład | edytuj kod

Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią zwartą oraz M = B ( X ) {\displaystyle {\mathfrak {M}}={\mathcal {B}}(X)} – σ-ciałem zbiorów borelowskich tej przestrzeni. Jeśli μ : B ( X ) 0 , {\displaystyle \mu \colon {\mathcal {B}}(X)\to [0,\infty ]} jest miarą oraz H = L 2 ( μ ) {\displaystyle H=L^{2}(\mu )} oznacza przestrzeń funkcji przestrzeni X , {\displaystyle X,} całkowalnych z kwadratem w sensie μ , {\displaystyle \mu ,} to funkcja dana wzorem E ( B ) f = f 1 B , B B ( X ) , f H {\displaystyle E(B)f=f\cdot \mathbf {1} _{B},\;B\in {\mathcal {B}}(X),f\in H} jest miarą spektralną, gdzie 1 {\displaystyle \mathbf {1} } oznacza funkcję charakterystyczną.

Zobacz też | edytuj kod

Bibliografia | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Miara spektralna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy