Obszar


Obszar (matematyka) w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii (Przekierowano z Obszar) Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Obszarzbiór otwarty i spójny w przestrzeni euklidesowej lub ogólniej w przestrzeni topologicznej[1]. Obszar domknięty to domknięcie O ¯ {\displaystyle {\overline {\mathfrak {O}}}} obszaru (otwartego) O {\displaystyle {\mathfrak {O}}} [2].

Zbiór domknięty F r O = O ¯ O {\displaystyle \mathrm {Fr} \,{\mathfrak {O}}={\overline {\mathfrak {O}}}\setminus {\mathfrak {O}}} nazywa się brzegiem obszaru O . {\displaystyle {\mathfrak {O}}.} Punkty X O {\displaystyle X\in {\mathfrak {O}}} nazywane są punktami wewnętrznymi obszaru O , {\displaystyle {\mathfrak {O}},} a także punktami wewnętrznymi obszaru domkniętego O ¯ . {\displaystyle {\overline {\mathfrak {O}}}.} Punkty X F r O {\displaystyle X\in \mathrm {Fr} \,{\mathfrak {O}}} nazywane są punktami brzegowymi obszaru O , {\displaystyle {\mathfrak {O}},} a także punktami brzegowymi obszaru domkniętego O ¯ {\displaystyle {\overline {\mathfrak {O}}}} [3].

Pojęcia te mają podstawowe znaczenie w analizie zespolonej. Przykładami obszarów na płaszczyźnie zespolonej są: cała płaszczyzna, wnętrze kąta, koło otwarte (bez brzegu), prostokąt otwarty (bez brzegu). W szczególności obszarem jest też każdy zbiór otwarty, którego brzeg można opisać krzywą Jordana.

Od lewej: obszar jednospójny, obszar trzyspójny, obszar czterospójny

Obszar O C {\displaystyle {\mathfrak {O}}\subset \mathbb {C} } nazywa się obszarem jednospójnym, jeśli każdą zawartą w nim pętlę można w sposób ciągły zdeformować do punktu, pozostając cały czas w obszarze (pętla jest w O {\displaystyle {\mathfrak {O}}} ściągalna do punktu)[4]. Brzeg takiego obszaru ma wtedy jedną składową spójności. Ogólniej, brzeg obszaru może mieć k {\displaystyle k} składowych, gdzie 0 k . {\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty .} Jeśli k > 1 , {\displaystyle k>1,} to obszar nazywa się obszarem wielospójnym. Liczba k {\displaystyle k} jest nazywana rzędem spójności. Jeśli k = 2 , {\displaystyle k=2,} obszar jest nazywany obszarem dwuspójnym, jeśli k = 3 {\displaystyle k=3} obszarem trzyspójnym itd. Jeśli k < , {\displaystyle k<\infty ,} to obszar nazywamy obszarem skończeniespójnym, a jeśli k = {\displaystyle k=\infty } obszarem nieskończeniespójnym[4].

Przykłady | edytuj kod

Przykład obszaru, którego brzeg zawiera punkty niedostępne
  • Na prostej R = R 1 {\displaystyle \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{1}} obszarami są przedziały liczbowe. Brzeg takiego obszaru jest zawsze zbiorem co najwyżej dwupunktowym[4].
  • Obszar nieskończeniespójny można uzyskać, usuwając z koła otwartego o promieniu 2 rozłączne koła domknięte o promieniach 1 , 1 4 , 1 4 2 , , 1 4 n , {\displaystyle 1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4^{2}}},\dots ,{\frac {1}{4^{n}}},\dots } Brzeg tego obszaru jest sumą mnogościową okręgu koła o promieniu 2 i okręgów ograniczających usunięte koła.
  • Obszar jednospójny O {\displaystyle {\mathfrak {O}}} może mieć dość skomplikowany brzeg, zawierający punkty niedostępne w następującym sensie: nie istnieje krzywa ciągła f : a ; b O ¯ , {\displaystyle f\colon \langle a;b\rangle \rightarrow {\overline {\mathfrak {O}}},} gdzie a ; b {\displaystyle \langle a;b\rangle } jest przedziałem domkniętym na osi rzeczywistej, taka że obrazy wszystkich punktów przedziału, poza punktem X = f ( b ) {\displaystyle X=f(b)} (należącym do brzegu O {\displaystyle {\mathfrak {O}}} ), należą do obszaru O . {\displaystyle {\mathfrak {O}}.} Takimi punktami będą na przykład punkty prawego boku kwadratu na rysunku obok, z którego usunięto odcinki wychodzące prostopadle naprzemiennie z dolnego i górnego boku tego kwadratu, zbliżające się do prawego boku i o długościach dążących do długości boku kwadratu[5].
  • Każde dwa punkty obszaru położonego w płaszczyźnie zespolonej dają się połączyć łamaną.
Niech będzie obszarem. Dla każdego X O {\displaystyle X\in {\mathfrak {O}}} niech F X {\displaystyle {\mathfrak {F}}_{X}} będzie zbiorem tych punktów obszaru O , {\displaystyle {\mathfrak {O}},} które dadzą się połączyć z X {\displaystyle X} łamaną. Dla każdego X O {\displaystyle X\in {\mathfrak {O}}} zbiór F X {\displaystyle {\mathfrak {F}}_{X}} jest zbiorem otwartym, bo jeśli A F X , {\displaystyle A\in {\mathfrak {F}}_{X},} to z punktem X {\displaystyle X} można połączyć łamaną każdy punkt kuli k ( A , r ) O . {\displaystyle k(A,r)\subset {\mathfrak {O}}.} Z drugiej strony zbiór: O F X = Y O F X F Y {\displaystyle {\mathfrak {O}}\setminus {\mathfrak {F}}_{X}=\bigcup _{Y\in {\mathfrak {O}}\setminus {\mathfrak {F}}_{X}}{\mathfrak {F}}_{Y}} jest również zbiorem otwartym, a zatem ze względu na spójność zbioru O {\displaystyle {\mathfrak {O}}} zbiór O F X = , {\displaystyle {\mathfrak {O}}\setminus {\mathfrak {F}}_{X}=\varnothing ,} czyli F X = O {\displaystyle {\mathfrak {F}}_{X}={\mathfrak {O}}} [6].
  • Własność ta jest spełniona dla obszarów w przestrzeni euklidesowej R n , n 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n\geqslant 1} oraz dla obszarów przestrzeni zespolonej C n , n 1 , {\displaystyle \mathbb {C} ^{n},n\geqslant 1,} przy czym istnieje wtedy łamana łącząca dwa punkty obszaru składająca się ze skończonej liczby odcinków[4].
  • Powyższa własność jest również spełniona dla obszaru każdej topologicznej przestrzeni wektorowej.
  • Każdy zbiór otwarty O C {\displaystyle {\mathfrak {O}}\subset \mathbb {C} } jest sumą obszarów, bo:
O = X O F X . {\displaystyle {\mathfrak {O}}=\bigcup _{X\in {\mathfrak {O}}}{\mathfrak {F}}_{X}.}

Przypisy | edytuj kod

  1. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, s. 256, seria: Biblioteka matematyczna (BM 9).
  2. Franciszek Leja: Teoria funkcji analitycznych. Wyd. 1. Warszawa: PWN, 1957, s. 24, seria: Biblioteka matematyczna (BM 14).
  3. Математическая энциклопедия. И.М. Виноградов (red.). Wyd. 1. T. 3, Коо-Од. Москва: Советская энциклопедия, 1982, s. 1098.
  4. a b c d Математическая энциклопедия, t. 3, Коо-Од, op. cit., s. 1098.
  5. А.И. Маркушевич: Теория аналитических функций. Wyd. 1. T. 1. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1950, s. 406.
  6. Kuratowski, op. cit., s. 257.


Na podstawie artykułu: "Obszar" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy