Obwód rezonansowy LC

Obwód rezonansowy LC w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Obwód rezonansowy LC – obwód elektryczny składający się z cewki (L) i kondensatora (C). Obwód może działać jako rezonator elektryczny, jest wówczas elektrycznym odpowiednikiem nietłumionego układu drgań mechanicznych. Układ taki wyprowadzony z równowagi wykonuje drgania swobodne przenosząc energię elektromagnetyczną z częstotliwością rezonansową między cewką a kondensatorem. Pobudzany drganiami okresowymi zachowuje się jak układ drgań wymuszonych, w stanie równowagi wykonuje drgania z częstotliwością pobudzania i amplitudą silnie zależną od częstotliwości.

Obwody rezonansowe znajdują szerokie zastosowania w radiotechnice, dzięki faworyzowaniu wąskiego przedziału częstotliwości, są wykorzystywane do generowania sygnałów o określonej częstotliwości, albo do wybierania sygnału o określonej częstotliwości z bardziej złożonego sygnału; ta funkcja nazywa się filtrem pasmowym. Są kluczowymi komponentami wielu urządzeń elektronicznych, w szczególności sprzętu radiowego, stosowanych w układach takich jak oscylatory, filtry i mieszacze.

W rozważaniach teoretycznych jest wyidealizowanym przypadkiem obwodu elektrycznego RLC, ale bez tłumienia wnoszonego przez rezystancję (R). Rzeczywiste obwody zawsze zawierają element tłumiący.

W obwodzie tym pobudzanym przez drgania okresowe w stanie równowagi z drganiami pobudzającymi zachodzi rezonans prądów (w równoległym) lub napięć (w szeregowym).

W stanie rezonansu, prąd i napięcie na zacisku obwodu rezonansowego są zgodne w fazie, a wypadkowa moc bierna pobierana przez obwód jest równa zeru, dlatego reaktancje sinusoidalnie zmienne znoszą swoją wartość poprzez występujący prąd w obwodzie.

Animowany schemat obwodu LC

Spis treści

Drgania obwodu LC | edytuj kod

Fazy oscylacji w obwodzie LC

W obwodzie elektrycznym składającym się z kondensatora i cewki indukcyjnej energia może być zgromadzona w kondensatorze i cewce[1]:

U = 1 2 L i 2 + 1 2 q 2 C . {\displaystyle U={\frac {1}{2}}Li^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {q^{2}}{C}}.}

Całkowita energia obwodu będąca sumą obu energii jest stała. Uwzględniając związek między ładunkiem na kondensatorze a natężeniem prądu, równanie na ładunek na kondensatorze można wyrazić:

d 2 q d t 2 + 1 L C q = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}q=0.}

Równanie to jest matematycznym odpowiednikiem równania drgań np. masy na sprężynie. Obwód LC wykonuje drgania swobodne z częstotliwością. Wzór określający częstotliwość drgań nazywa się wzorem Thomsona. Rozwiązanie równania, oraz natężenie prądu można przedstawić:

q ( t ) = q m cos ⁡ ( ω t + ϕ ) , {\displaystyle q(t)=q_{m}\cos(\omega t+\phi ),} i ( t ) = − ω q m sin ⁡ ( ω t + ϕ ) , {\displaystyle i(t)=-\omega q_{m}\sin(\omega t+\phi ),} ω = 1 L C , {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}},} f = ω 2 π = 1 2 π L C {\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}}

Obwód LC wykonuje drgania swobodne z częstotliwością rezonansową określoną przez wzór Thomsona

gdzie:

q {\displaystyle q} – ładunek na kondensatorze, i {\displaystyle i} – natężenie prądu w zwojnicy, q m {\displaystyle q_{m}} – maksymalny ładunek na kondensatorze, L {\displaystyle L} – indukcyjność cewki, C {\displaystyle C} – pojemność kondensatora, ω {\displaystyle \omega } – częstość kołowa w radianach/sekundę, f {\displaystyle f} – częstotliwość obwodu w hercach.

Obwód LC w obwodach prądu przemiennego | edytuj kod

Obwód elektryczny złożony z pojemności i indukcyjności może być elementem obwodu prądu przemiennego. Elementy te mogą być połączone szeregowo lub równolegle. W stanie ustalonym w obwodzie płynie prąd o częstotliwości równej częstotliwości pobudzania.

Rezonans napięć | edytuj kod

Impedancja zastępcza Z obwodu szeregowego złożonego z cewki i kondensatora wynosi:

Z = j X L − j X C = j ( ω L − 1 ω C ) , {\displaystyle Z=jX_{L}-jX_{C}=j\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right),}

gdzie:

j {\displaystyle j} – jednostka urojona[a], X L {\displaystyle X_{L}} – reaktancja cewki (induktancja), X C {\displaystyle X_{C}} – reaktancja kondensatora (kapacytancja), Z {\displaystyle Z} – impedancja wypadkowa.

Impedancja szeregowego obwodu LC jest równa zero gdy reaktancje cewki X L {\displaystyle X_{L}} i kondensatora X C {\displaystyle X_{C}} są sobie równe co do wartości bezwzględnej[b]. Dla danej pojemności i indukcyjności warunek ten jest spełniony dla częstotliwości równej częstotliwości drgań swobodnych obwodu LC, częstotliwość ta nazywana jest częstotliwością rezonansową.

Gdy cewka i kondensator połączone są szeregowo i zasilane prądem przemiennym I , {\displaystyle I,} to w elementach tych występuje spadek napięcia: U C {\displaystyle U_{C}} na kondensatorze, a U L {\displaystyle U_{L}} na cewce. Ponieważ przesunięcia faz napięcia względem prądu są w cewce i kondensatorze przeciwne, to napięcie wypadkowe jest różnicą napięć na cewce i kondensatorze, a w stanie rezonansu teoretycznie napięcia te zniosą się zupełnie. W szeregowym obwodzie rezonansowym dla częstotliwości rezonansowej, pomimo tego, że na obwodzie napięcie jest równe 0, to napięcie na cewce i na kondensatorze są różne od zera i mogą osiągać bardzo duże wartości.

Rezonans prądów | edytuj kod

Rezonans prądów następuje wtedy, gdy susceptancja układu równa się zero. Susceptancje poszczególnych gałęzi obwodu (susceptancja pojemnościowa i susceptancja indukcyjna) są sobie równe: B L = B C . {\displaystyle B_{L}=B_{C}.}

Gdy układ taki zasilany jest napięciem zmiennym U , {\displaystyle U,} to popłyną przez elementy prądy: I C {\displaystyle I_{C}} przez kondensator, a I L {\displaystyle I_{L}} przez cewkę. Ponieważ prądy te mają przeciwne fazy, to znoszą się wzajemnie i sumaryczny prąd I {\displaystyle I} jest mniejszy od sumy prądów I C {\displaystyle I_{C}} i I L . {\displaystyle I_{L}.} Dla pewnej częstotliwości, gdy prąd cewki równa się prądowi kondensatora prądy te zniosą się zupełnie i prąd I {\displaystyle I} będzie równy zeru – zachodzi rezonans prądów, a obwód rezonansowy przestaje pobierać prąd ze źródła – staje się przerwą w obwodzie, czyli ma nieskończenie dużą oporność (prądy w rzeczywistym kondensatorze i cewce nie są jednak równe zeru i mogą osiągać duże wartości).

Zobacz też | edytuj kod

Uwagi | edytuj kod

  1. ↑ W elektrotechnice używa się oznaczenia j {\displaystyle j} dla jednostki urojonej, a nie i {\displaystyle i} jak w matematyce, aby odróżnić ją od wartości chwilowej natężenia prądu, które również oznacza się jako i . {\displaystyle i.}
  2. ↑ Ujemny znak reaktancji kondensatora wynika z konwencji; w niektórych podręcznikach stosuje się inną konwencję, w której zarówno induktancja, jak i kapacytancja mają dodatnie znaki, zaś reaktancja ich połączenia szeregowego jest różnicą tych wartości.

Przypisy | edytuj kod

  1. ↑ D. Halliday, R. Resnick: Fizyka. T. 2. Państwowe Wydawnictwo Naukowe.

Bibliografia | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (obwód elektryczny):
Na podstawie artykułu: "Obwód rezonansowy LC" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy