Odcinek


Odcinek w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania Prosta, półprosta i odcinek. Dla prostej i półprostej widać tylko fragment mieszczący się na rysunku. Wypełnione kółeczka symbolizują punkty na końcach odcinka i na początku półprostej, które także do odcinka i półprostej należą.

Odcinek – część prostej zawarta pomiędzy dwoma jej punktami z tymi punktami włącznie. Odcinek w całości zawiera się wewnątrz tej prostej.

W przestrzeni trójwymiarowej z kartezjańskim układem współrzędnych X Y Z {\displaystyle XYZ} odcinek o końcach ( x 1 , y 1 , z 1 ) ,   ( x 2 , y 2 , z 2 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1}),\ (x_{2},y_{2},z_{2})} jest zbiorem punktów ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} opisanych układem równań

{ x = ( 1 t ) x 1 + t x 2 , y = ( 1 t ) y 1 + t y 2 , z = ( 1 t ) z 1 + t z 2 , {\displaystyle {\begin{cases}x=(1-t)x_{1}+tx_{2},\\[2pt]y=(1-t)y_{1}+ty_{2},\\[2pt]z=(1-t)z_{1}+tz_{2},\end{cases}}}

gdzie:

0 t 1. {\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1.}

W przestrzeni jednowymiarowej (na osi liczbowej) definicja ta ogranicza się do pierwszej równości:

x = ( 1 t ) x 1 + t x 2 {\displaystyle x=(1-t)x_{1}+tx_{2}}

przy 0 t 1 , {\displaystyle 0\leqslant t\leqslant 1,} stając się równoważną definicji przedziału x 1 , x 2 . {\displaystyle [x_{1},x_{2}].}

W przestrzeni dwuwymiarowej powyższy układ sprowadza się do dwóch pierwszych równań. W przestrzeni o większej liczbie wymiarów należy dopisać kolejne równania.

Uogólnienie na przestrzenie wektorowe | edytuj kod

W dowolnej przestrzeni wektorowej odcinek A B {\displaystyle AB} (tzn. odcinek o końcach A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} będących punktami tej przestrzeni) jest zbiorem punktów leżących „pomiędzy” A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} jako ich średnie ważone przy dowolnych nieujemnych wagach:

A B = { ( 1 t ) A + t B :   0 t 1 } . {\displaystyle AB=\{(1-t)\cdot A+t\cdot B:\ 0\leqslant t\leqslant 1\}.}

Dla przestrzeni z kartezjańskim układem współrzędnych definicja ta, poprzez rozpisanie warunków na poszczególne współrzędne, wprost sprowadza się do definicji podanej powyżej.

Uogólnienie na przestrzenie metryczne | edytuj kod

W przestrzeni metrycznej odcinek o końcach A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} można definiować jako zbiór punktów X {\displaystyle X} tej przestrzeni leżących „pomiędzy” A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} jako spełniających warunek:

odległość od A {\displaystyle A} do B {\displaystyle B} równa jest sumie odległości od A {\displaystyle A} do X {\displaystyle X} i od X {\displaystyle X} do B . {\displaystyle B.}

Algebraicznie warunek ten wyraża się jako równość:

σ A B = σ A X + σ X B , {\displaystyle \sigma _{AB}=\sigma _{AX}+\sigma _{XB},}

gdzie σ P Q {\displaystyle \sigma _{PQ}} jest odległością pomiędzy P {\displaystyle P} i Q {\displaystyle Q} według metryki obowiązującej w danej przestrzeni.

Zobacz też | edytuj kod

Kontrola autorytatywna (miejsce geometryczne):
Na podstawie artykułu: "Odcinek" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy