Operacja n-arna


Operacja n-arna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Operacją n {\displaystyle n} -arną (działaniem n {\displaystyle n} -arnym)[1] ω {\displaystyle \omega } w zbiorze G {\displaystyle G} dla liczby całkowitej n > 0 {\displaystyle n>0} nazywamy funkcję, która każdemu ciągowi ( a 1 , , a n ) {\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})} n {\displaystyle n} elementów zbioru G {\displaystyle G} przyporządkowuje element a 1 , , a n {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}} ω {\displaystyle \omega } zbioru G . {\displaystyle G.} Innymi słowy jest to dowolne odwzorowanie n {\displaystyle n} -tego iloczynu kartezjańskiego G n {\displaystyle G^{n}} zbioru G {\displaystyle G} w zbiór G . {\displaystyle G.} W przypadku n = 1 {\displaystyle n=1} będzie to dowolne odwzorowanie zbioru G {\displaystyle G} w zbiór G {\displaystyle G} (taką operację nazywamy operacją unarną).

Operacja 0-arna ustala w zbiorze G pewien określony element.

Zamiast o operacjach n {\displaystyle n} -arnych mówi się często o operacjach n {\displaystyle n} -argumentowych lub działaniach n {\displaystyle n} -argumentowych. Na przykład o działaniach dwuargumentowych, trzyargumentowych itd. Operacjami 0-arnymi są na przykład elementy neutralne działań.

Operacja n {\displaystyle n} -arna jest podstawowym pojęciem algebry ogólnej, zajmującej się tzw. algebrami uniwersalnymi (krócej algebrami), zbiorami A {\displaystyle A} wyposażonymi w pewien zbiór Ω {\displaystyle \Omega } operacji n {\displaystyle n} -arnych nazywany sygnaturą. Każda struktura algebraiczna (grupoid, półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą uniwersalną.

Spis treści

Operacje n {\displaystyle n} -arne w arytmetyce | edytuj kod

  • Elementy neutralne dodawania (zero) i mnożenia (jedynka) w zbiorach liczb całkowitych, wymiernych Q , {\displaystyle \mathbb {Q} ,} rzeczywistych lub zespolonych są operacjami 0-arnymi.
  • Funkcja przyporządkowująca każdej liczbie całkowitej jej kwadrat jest operacją 1-arną na zbiorze Z . {\displaystyle \mathbb {Z} .} Podobnie pierwiastek kwadratowy jest operacją n {\displaystyle n} -arną na zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich R + {\displaystyle \mathbb {R} _{+}} (ale nie na zbiorze liczb rzeczywistych, ani wymiernych, ani całkowitych) oraz na zbiorze liczb zespolonych C . {\displaystyle \mathbb {C} .}
  • Element odwrotny jest operacją 1-arną na każdym ze zbiorów: Q = Q { 0 } , R = R { 0 } , Z = Z { 0 } . {\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}=\mathbb {Q} \setminus \{0\},\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \setminus \{0\},\mathbb {Z} ^{*}=\mathbb {Z} \setminus \{0\}.}
  • Działania dodawania, odejmowania i mnożenia są operacjami 2-arnymi na każdym ze zbiorów: Q , R , Z . {\displaystyle \mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Z} .} Dzielenie jest operacją 2-arną na każdym ze zbiorów: Q , R , Z . {\displaystyle \mathbb {Q} ^{*},\mathbb {R} ^{*},\mathbb {Z} ^{*}.}

Operacje n {\displaystyle n} -arne w algebrze | edytuj kod

  • Półgrupa jest zbiorem z operacją 2-arną łączną[2].
  • Monoid jest półgrupą z elementem neutralnym, który jest operacją 0-arną.
  • Grupa jest zbiorem, w którym można wyróżnić operację 2-arną (działanie grupy), operację 1-arną (element odwrotny działania) i operację 0-arną (element neutralny). Są także inne sposoby określania grupy. Wystarczy określić na zbiorze jedną operację 2-arną – dzielenie (jeśli grupa jest multiplikatywna, czyli jej działanie jest mnożeniem)[3].
  • Grupę G {\displaystyle G} można rozpatrywać jako zbiór G {\displaystyle G} ze zbiorem operacji 1-arnych
{ l g : G G : h G l g ( h ) = g h } , {\displaystyle \{l_{g}:G\to G:\forall _{h\in G}\;l_{g}(h)=gh\},} gdzie g G . {\displaystyle g\in G.}
  • Pierścień jest zbiorem, w którym można wyróżnić dwie operacje 2-arne (dodawanie i mnożenie), jedną operację 1-arną (element przeciwny) i operację 0-arną (zero). W pierścieniu z jednością można wyróżnić drugą operację 0-arną – jedynkę. O mnożeniu zakłada się co najmniej, że jest łączne i rozdzielne względem dodawania[4].
  • Ciało K {\displaystyle K} jest zbiorem, na którym określone są dwie operacje 2-arne (dodawanie i mnożenie), operacja 1-arna (element przeciwny), dwie operacje 0-arne (0 i 1). Ponadto na zbiorze K {\displaystyle K^{*}} określona jest operacja 1-arna (element odwrotny).

Operacje n {\displaystyle n} -arne w geometrii | edytuj kod

  • Iloczyn mieszany trzech wektorów w przestrzeni 3-wymiarowej jest operacją 3-arną na zbiorze wszystkich wektorów tej przestrzeni[5].

Mnożenie n {\displaystyle n} -arne macierzy n {\displaystyle n} -wskaźnikowych | edytuj kod

Macierz n {\displaystyle n} -wskaźnikowa A {\displaystyle A} zawiera n {\displaystyle n} wskaźników przebiegających m {\displaystyle m} wartości. Taka macierz zawiera m n {\displaystyle m^{n}} elementów macierzowych o wartościach zespolonych,

a k 1 , , k n . {\displaystyle a_{k_{1},\dots ,k_{n}}.}

Mnożenie (iloczyn) macierzy n {\displaystyle n} -wskaźnikowych zdefiniowane jest jako n {\displaystyle n} -arne działanie wewnętrzne dla dokładnie n {\displaystyle n} macierzy, z których każda ma n {\displaystyle n} wskaźników przebiegających m {\displaystyle m} wartości. Każda macierz zawiera m n {\displaystyle m^{n}} wartości. Wynikiem jest również macierz n {\displaystyle n} -wskaźnikowa.

Jeżeli B = A ( 1 ) A ( 2 ) , , A ( n 1 ) A ( n ) , {\displaystyle B=A^{(1)}A^{(2)},\dots ,A^{(n-1)}A^{(n)},} a b k 1 , k 2 , , k n {\displaystyle b_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}} oznacza element B {\displaystyle B} na pozycji ( k 1 , k 2 , , k n ) , {\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}),} to

b k 1 , , k n = l 1 , , l n 1 = 1 m a k 1 , l 1 , l n 1 ( 1 ) a l n 1 , k 2 , l 1 , l n 2 ( 2 ) a l 2 , , k n 1 , l 1 ( n 1 ) a l 1 , l 2 , , k n ( n ) {\displaystyle b_{k_{1},\dots ,k_{n}}=\sum _{l_{1},\dots ,l_{n-1}=1}^{m}a_{k_{1},l_{1}\dots ,l_{n-1}}^{(1)}*a_{l_{n-1},k_{2},l_{1}\dots ,l_{n-2}}^{(2)}*\cdots *a_{l_{2},\dots ,k_{n-1},l_{1}}^{(n-1)}*a_{l_{1},l_{2},\dots ,k_{n}}^{(n)}}

dla każdego wskaźnika k i , l j , {\displaystyle k_{i},l_{j},} dla których 1 k i m {\displaystyle 1\leqslant k_{i}\leqslant m} oraz 1 l j m . {\displaystyle 1\leqslant l_{j}\leqslant m.}

Przypisy | edytuj kod

  1. А.Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974, s. 11.
  2. Kurosz, op. cit., s. 20–25.
  3. Kurosz, op. cit., s. 17–19.
  4. Kurosz, op. cit., s. 56.
  5. Aleksiej Pogorełow: Geometria. Moskwa: Nauka, 1983, s. 72–73. (ros.)

Bibliografia | edytuj kod

  • Aleksiej Pogorełow: Geometria. Moskwa: Nauka, 1983. (ros.)
  • А.Г. Курош (Kurosz): Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974, s. 11. (ros.)
Na podstawie artykułu: "Operacja n-arna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy