Operator liniowy ograniczony


Operator liniowy ograniczony w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Operator T : X Y {\displaystyle T\colon X\to Y} nazywa się operatorem liniowym ograniczonym jeżeli:

T x Y C x X . {\displaystyle \|Tx\|_{Y}\leqslant C\|x\|_{X}.}

Operator ograniczony nie jest w ogólności funkcją ograniczoną; wymagałoby to by norma T x Y {\displaystyle \|Tx\|_{Y}} była mniejsza od pewnej liczby C {\displaystyle C} dla wszystkich wektorów x , {\displaystyle x,} tj.

T x Y C , {\displaystyle \|Tx\|_{Y}\leqslant C,}

co zachodzi jedynie, gdy operator jest funkcją ograniczoną, np. T x = sin ( x ) . {\displaystyle Tx=\sin(x).}

Operator liniowy ograniczony jest jednak zawsze funkcją lokalnie ograniczoną, co oznacza, że dla każdego wektora x {\displaystyle x} istnieje otoczenie, w którym wartości operatora są liczbami skończonymi,

T x Y C , {\displaystyle \|Tx'\|_{Y}\leqslant C,}

gdzie x {\displaystyle x'} należy do otoczenia wektora x . {\displaystyle x.}

Normą operatora T {\displaystyle T} nazywa się najmniejszą liczbę C {\displaystyle C} spełniającą warunek podany w definicji tego operatora.

Spis treści

Warunki równoważne | edytuj kod

Jeżeli X , Y {\displaystyle X,Y} są przestrzeniami unormowanymi, to dla operatora T : X Y {\displaystyle T\colon X\to Y} następujące warunki są równoważne:

  1. jest operatorem ograniczonym,
  2. T {\displaystyle T} jest operatorem jednostajnie ciągłym,
  3. T {\displaystyle T} jest operatorem ciągłym,
  4. T {\displaystyle T} jest operatorem ciągłym w pewnym punkcie przestrzeni X {\displaystyle X} (na przykład w zerze).

Przykłady | edytuj kod

Operatory ograniczone | edytuj kod

(1) Operator jednostkowy I {\displaystyle I} ograniczony, tj.

I x = x ( x X ) . {\displaystyle Ix=x\quad (x\in X).}

Jeżeli X = Y R {\displaystyle X=Y\equiv R} oraz y Y = | y | {\displaystyle \|y\|_{Y}=|y|} i x X = | x | , {\displaystyle \|x\|_{X}=|x|,} to normą operatora I {\displaystyle I} jest liczba C = 1 , {\displaystyle C=1,} gdyż dla wszystkich x {\displaystyle x} spełniony jest warunek I x Y 1 x X . {\displaystyle \|Ix\|_{Y}\leqslant 1*\|x\|_{X}.}

(2) Operator skończenie wymiarowy, tj. działający między przestrzeniami skończenie wymiarowymi jest ograniczony; operator ten może być reprezentowany przez macierz, a jego działanie na wektor wyrażone jako mnożenie wektora – zapisanego w postaci kolumny – przez tę macierz.

(3) Operator zwarty jest ograniczony.

Operatory nieograniczone | edytuj kod

(1) Operator liczby cząstek dla bozonów nie jest operatorem ograniczonym, gdyż liczba bozonów może być dowolnie duża.

Twierdzenia | edytuj kod

Tw. 1. Operator liniowy pomiędzy przestrzeniami unormowanymi jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągły (lub z powodu liniowości – jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły w zerze).

Tw. 2. Przestrzeń liniowa ℬ(X, Y) wszystkich ograniczonych operatorów liniowych z X {\displaystyle X} do Y , {\displaystyle Y,} wyposażona w normę operatorową jest przestrzenią unormowaną, która jest przestrzenią Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy Y {\displaystyle Y} jest przestrzenią Banacha.

Zobacz też | edytuj kod

Linki zewnętrzne | edytuj kod

Na podstawie artykułu: "Operator liniowy ograniczony" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy