Pochodna formalna


Pochodna formalna w encyklopedii

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pochodna formalna – operacja na elementach pierścieni wielomianów lub pierścieni szeregów formalnych naśladująca własności pochodnej funkcji znanej z analizy matematycznej. Pochodna formalna ułatwia badanie pierwiastków wielomianu: są one wielokrotne, jeśli są zarazem pierwiastkami pochodnej wielomianu.

Niech dany będzie pierścień wielomianów R x {\displaystyle R[x]} i wielomian

f = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 {\displaystyle f=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}

do niego należący. Pochodną formalną wielomianu f {\displaystyle f} nazywa się wielomian f {\displaystyle f'} dany wzorem

f = n a n x n 1 + ( n 1 ) a n 1 x n 2 + + 2 a 2 x + a 1 . {\displaystyle f'=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_{1}.}

Powyższe sformułowanie przenosi się wprost na szeregi formalne, należy tylko założyć, iż pierścień skalarów jest przemienny.

Na podstawie artykułu: "Pochodna formalna" pochodzącego z Wikipedii
OryginałEdytujHistoria i autorzy